Domanda:
Quali esempi hanno portato alla definizione moderna di uno spazio topologico?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Oggi il linguaggio degli spazi topologici attraverso gli insiemi aperti è fondamentale in molte diverse aree della matematica ed è un po 'misterioso che lo stesso formalismo catturi con successo una così ampia varietà di comportamenti. Posso pensare a diversi motivi indipendenti per inventare la definizione di una topologia, che sarebbero stati tutti sugli schermi radar dei matematici nel periodo in cui la definizione fu rimuginata per la prima volta all'inizio del XX secolo:

  1. Fornire una base per il programma Erlangen di Klein e il lavoro di Poincaré sui numeri di Betti e il gruppo fondamentale
  2. Per chiarire le basi del calcolo, ad es. il ruolo della compattezza nel teorema del valore estremo
  3. Distinguere tra le varie nozioni di convergenza di funzioni (che porta all'analisi funzionale)
  4. Dare significato ad argomenti che coinvolgono configurazioni "generiche" in algebrica geometria

La mia comprensione è che ci è voluto un po 'di tempo prima che emergesse il formalismo moderno degli spazi topologici, quindi mi chiedo quali risultati o esempi specifici siano stati più influenti nel suo sviluppo? E quali applicazioni moderne della teoria sono state realizzate solo dopo che è maturata?

Penso che Volterra e alcuni altri (a partire dalla metà o dalla fine degli anni Ottanta dell'Ottocento, credo) iniziarono a cercare di dare un senso ai metodi di calcolo delle variazioni parlando del calcolo con le "funzioni delle curve" (ad esempio la loro lunghezza), e la successiva unificazione di Frechet di queste idee nel suo dottorato del 1906. tesi, aveva molto a che fare con l'evoluzione delle nozioni di topologia. Vedere anche la domanda matematica di Stackexchange [Origini della definizione moderna di topologia] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
È una buona domanda sul perché la topologia viene introdotta tramite set aperti. Quando sono stati presentati al mio corso di fisica al college, sembravano decisamente non impressionati e la nozione di open set per loro non era affatto naturale. In effetti, la topologia può essere introdotta tramite una generalizzazione dei limiti - che mi aspetto sarebbe molto più naturale. Liebniz aveva già la nozione moderna di continuità in forma embrionale, credo.
Due risposte:
#1
+7
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Credo che la nostra definizione moderna di uno spazio topologico sia derivata principalmente dal libro di Hausdorff Grundzüge der Mengenlehre (Fondamenti della teoria degli insiemi), pubblicato per la prima volta nel 1914, 2a ed. 1927. Hausdorff iniziò con gli spazi metrici, ma poi li generalizzò.

Naturalmente, lo sfondo del lavoro di Hausdorff fu il diciannovesimo lavoro sulla continuità, e la cosiddetta "aritmetizzazione dell'analisi" --- il tentativo per mettere il calcolo su una solida base logica. I nomi più grandi qui sono Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bolzano e Cantor. Ma l'assiomatizzazione della topologia generale in termini di insiemi aperti o chiusi è dovuta a Hausdorff.

La versione che ho sentito, in effetti, dice che era Hausdorff. Nella definizione di un collettore, ci sono piccoli quartieri mappati biettivamente per aprire palline nello spazio euclideo, in modo che dove si sovrappongono le mappe di transizione sono continue nello spazio euclideo. Quindi Hausdorff vide che nella definizione di "funzione continua" da $ X \ a Y $, non era necessario che i vicini corrispondessero a insiemi nello spazio euclideo, si poteva semplicemente dire per ogni $ a \ in X $ e per ciascuno quartiere $ B $ o $ f (a) $ in $ Y $ c'è un quartiere $ A $ di $ a $ in $ X $ tale che $ f $ mappa $ A $ in $ B $. ...
... Allora ha detto: e se la prendiamo come una ** definizione ** di un tipo di spazio in cui possiamo definire "funzione continua". Ha dato assiomi per questo, dove i quartieri di punti erano la nozione primitiva. Più tardi, altri hanno escogitato altre definizioni, e quella di Hausdorff si è rivelata un piccolo caso speciale, ed è ora nota come "spazio di Hausdorff".
@GeraldEdgar Ho sentito la stessa storia, con la svolta che stava adattando la definizione di una varietà differenziale al caso continuo più generale. Anche Weyl avrebbe dovuto essere coinvolto in qualche modo. Ma non sono riuscito a rintracciare dove ho letto questo. Non sono riuscito a trovarlo in The Concept of a Riemann Surface di Weyl.
#2
+3
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Gli spazi topologici sembrano avere le loro radici nel diciannovesimo secolo. È iniziato, indirettamente, con la teoria dei limiti e le prove delta-epsilon. Un importante passo avanti si è verificato con lo sviluppo della teoria degli insiemi (ad esempio le leggi di DeMorgan) nella metà e nell'ultima parte del secolo. Ciò ha portato alla "generalizzazione" degli assiomi limite, convergenza e punto di accumulazione utilizzando la teoria degli insiemi aperti e chiusi. La topologia viene talvolta definita teoria degli "insiemi di punti".

Le applicazioni che citi sono arrivate "più tardi", cioè nel ventesimo secolo. Così fecero i cosiddetti Assiomi di separazione, che iniziano con gli spazi di Hausdorff, nel 1914, e si estendono a metà del secolo. Ma le basi per queste applicazioni sono state poste nel secolo precedente.

Questo non risponde affatto alla domanda, che richiede specificamente * esempi di spazi topologici *. La tua risposta non è del tutto inutile, ma penso che sarebbe meglio come commento.
@JackM: Nella domanda, l'OP ha chiesto "quali risultati o esempi specifici erano più influenti ..." Ho risposto usando "risultati", non esempi. Sei un matematico e ti occupi di "esempi". Sono uno storico e mi occupo di "linee temporali". (Vedi i nostri rispettivi punteggi di reputazione SE.) Da una prospettiva storica, "ciò che ha portato a" trova una buona risposta da risultati come "limiti e prove delta-epsilon", così come la teoria degli insiemi. Quindi la mia risposta risale al XIX secolo. Per alcune persone, quel "quadro generale" può essere utile quanto esempi contemporanei.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
Loading...