Domanda:
Qual era l'attrattiva dell'analisi numerica prima dei computer?
user5140
2017-01-24 04:26:48 UTC
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Attualmente sto facendo un corso di analisi numerica e sembra che molte delle tecniche siano state sviluppate da matematici, come Euler e Newton, che vissero prima dell'era dei computer. Perché questi matematici erano interessati all'analisi numerica e che uso avevano prima dei computer?

Ho una vaga idea di alcuni usi che potrebbe avere, ma faccio ancora fatica a capire perché questi grandi matematici avrebbero scelto di fare ricerche analisi numerica invece di rimanere concentrati sulla matematica pura.

L'analisi numerica non è stata "inventata" per il computer, ma proprio per trovare soluzioni (approssimate) a problemi matematici. La difficoltà di eseguire lunghi calcoli con carta e matita è stata la motivazione più forte per trovare algoritmi "intelligenti".
Dovresti guardare alla matematica applicata che fecero Eulero e Gauss. Per quanto riguarda alcune analisi numeriche più recenti, vedere la risposta su alberi radicati e soluzioni numeriche per eq diff http://mathoverflow.net/questions/97512/in-splendid-isolation/98213#98213.
Gli antichi babilonesi avevano algoritmi (registrati su cuneiforme) per i calcoli delle orbite planetarie http://www.sciencemag.org/news/2016/01/math-whizzes-ancient-babylon-figured-out-forerunner-calculus.
Il significato originale della parola "computer" era: una persona che fa calcoli.
In qualche modo penso che l'appello sia più profondo delle semplici applicazioni e che l'analisi reale abbia le sue origini nei calcoli numerici. (Le applicazioni danno importanza a determinati problemi, ma ciò che è interessante è molto di più.)
Dovreste guardare il film "Hidden Figures" per scoprire la necessità di metodi numerici e di calcolo manuale durante le fasi iniziali della "corsa allo spazio". Inoltre, il libro è anche un'ottima lettura.
Cinque risposte:
#1
+11
Alexandre Eremenko
2017-01-25 02:13:11 UTC
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Quando applichi la matematica al mondo reale, questo richiede molti calcoli. L'astronomia è la scienza più antica che applicava la matematica su larga scala. Poi vengono la fisica, la chimica, le scienze dei materiali e tutte le altre scienze e applicazioni ingegneristiche. Hanno sempre richiesto molte analisi numeriche.

La domanda è in realtà molto strana: evidentemente c'erano PIÙ ragioni per i matematici di lavorare sui metodi numerici PRIMA che i computer si diffondessero che dopo la loro diffusione. Perché tutti i calcoli dovevano essere fatti a mano. Quindi questo richiedeva molto tempo e fatica. È proprio per questo motivo che le persone stavano lavorando duramente per inventare algoritmi efficaci.

Ad esempio, quando Keplero venne a conoscenza dei logaritmi disse che "questa invenzione ha aumentato la durata della vita degli astronomi di un fattore 100".

Ancora nel 1940 Cornelius Lanszos inventò il famoso algoritmo chiamato "Trasformata rapida di Fourier". Nell'introduzione al suo articolo (insieme al suo dottorando in CHIMICA Danielson) dice: "Si potrebbe usare un costoso analizzatore di armoniche, ma abbiamo trovato un metodo che permette di fare questo calcolo a mano ..." (L'analizzatore di armoniche è un computer analogico progettato per svolgere un solo compito: espansione di Fourier. Queste cose erano fatte su misura e in effetti enormemente costose).

Fino alla fine degli anni '70 esisteva una professione di "navigatore". Ogni aeroplano a lunga distanza e ogni nave oceanica ne aveva (almeno) uno. Il lavoro principale di questa persona erano i calcoli (a mano, usando tabelle e altri aiuti). L'invenzione del calcolatore elettronico non ha eliminato la professione ma l'ha cambiata radicalmente. Solo la diffusione dei sistemi di navigazione satellitare + computer l'ha eliminata.

Non ho nemmeno menzionato le applicazioni militari, che erano seconde solo all'astronomia e alla navigazione per importanza.

#2
+9
user5245
2017-01-24 08:37:36 UTC
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Non sono uno storico ma propongo innanzitutto "Astronomia" come risposta alla tua domanda. Lo studio dei moti planetari e delle stagioni era essenziale per una serie di ragioni (mi vengono in mente agricoltura e religione).

Successivamente, "Navigazione": l'uso di tabelle accurate (in particolare tabelline) era essenziale per il bene navigazione, e questo ha comportato calcoli laboriosi (principalmente utilizzando la geometria sferica).

Infine, "Money". Si dice che il calcolo degli interessi e dei mutui sia stato il motivo per cui Eulero ha introdotto "e" come limite per ricevere interessi su un numero sempre maggiore di intervalli sempre più piccoli.

Penso che tu possa aggiungere balistica (dal dipartimento di matematica dell'esercito americano dove un computer era una posizione di lavoro) e ingegneria in cui la ricerca di proprietà dell'area composita dividendo le forme in triangoli è precedente ai computer.
Non sono d'accordo sulla navigazione che ha avuto un'influenza molto molto limitata sullo sviluppo scientifico, sia numerico che teorico.
@JeanMarieBecker forse questo: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Marine_chronometer fornirà il contesto per la necessità di numeri precisi per i primi metodi. C'è un libro meraviglioso chiamato "Longitude" di Dava Sobel che è fondamentalmente la storia del cronometro da marina.
@ja72 In realtà ho pensato anche alla scultura ... beh, la fusione in bronzo per la precisione. Uno ha bisogno di conoscere abbastanza precisamente la posizione del gruppo di massa di oggetti solidi se devono avere una posa dinamica. Capisco che ciò sia stato fatto lasciando vuota parte del casting. Spero che qualcuno possa fornire un riferimento.
#3
+5
KCd
2017-02-01 16:53:45 UTC
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Mi colpisce che qualcuno nel 21 ° secolo si chieda perché le persone che dovevano calcolare a mano fossero motivate a scoprire algoritmi numerici. Vediamo, immaginiamo che siano i primi del 1700 e che tu voglia trovare il valore della somma di 1 / n ^ 2 per n = 1,2,3, ... (questo è stato un problema irrisolto per circa 90 anni). Ovviamente aiuta a farsi un'idea di quale potrebbe essere la risposta prima di provare a derivarla con attenzione. Quindi vuoi una stima numerica, diciamo a 5 cifre decimali. Non puoi farlo a mano solo sommando le serie: ci vogliono più di 5000 termini nella serie per arrivare entro 0,00001 del valore della serie completa. Ma se sei Eulero, sviluppi (quello che è stato chiamato) la formula di sommatoria di Eulero-Maclaurin che ti consente di stimare la serie a oltre 10 cifre decimali usando solo i primi 10 termini della serie più alcuni termini di correzione in quella somma formula. Riesci a capire che questo potrebbe essere un risultato utile?

#4
+2
K7PEH
2017-01-29 23:58:34 UTC
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Trovo la domanda un po 'bizzarra, ma mi rendo conto che è probabilmente dovuta alla differenza culturale di coloro che sono cresciuti in una società in cui i computer sono usati ovunque.

Non è stato molto tempo fa in storia passata (~ 1965) quando ero studente universitario in fisica di fronte a un'equazione non lineare (trascendentale) da risolvere. Nessuna soluzione analitica possibile eppure ho dovuto trovare un valore per "x" (l'ignoto) fino a 3 cifre decimali.

La soluzione nel mio caso era il metodo di Newton e un regolo calcolatore (che ho ancora e si siede sulla libreria accanto a me in questo momento). Tutti noi studenti di questa classe (Meccanica classica) dovevamo risolvere il problema come parte di un compito a casa.

Uno dei miei compagni di studio ha utilizzato il computer del campus (CDC 3300) e il linguaggio Fortran per implementare metodo e trova facilmente una risposta a 5 o 6 cifre decimali. E il suo programma è stato inserito nella cosiddetta scheda perforata IBM.

Quell'unico evento in cui ho imparato la potenza del computer oltre la fatica del regolo calcolatore mi ha portato alla programmazione del computer.

Come altri hanno detto, i computer aiutano ma non sono stati la ragione per lo sviluppo di metodi numerici. In fisica, la maggior parte dei problemi della vita reale deve essere risolta numericamente: solo gli incarichi di libri di testo (di solito) di portata limitata hanno soluzioni analitiche disponibili per l'algebra o il calcolo.

Interessante.....
Un altro commento sul mio post sopra: perché non usare una calcolatrice? All'incirca al momento di questa storia che ho pubblicato sopra, l'HP-35 era ancora a 5 anni nel futuro.
#5
+1
Jan Peter Schäfermeyer
2017-02-20 19:17:31 UTC
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Il testo seguente è dall'introduzione ai " Metodi grafici" di Carl Runge, in cui l'autore, ben prima dell'invenzione dei computer, giustifica l'esistenza dell'analisi numerica:

"Molti, se non tutti, i problemi in matematica possono essere formulati nel senso che consistono nel trovare da dati dati i valori di certe quantità incognite soggetti a certe condizioni.

Possiamo distinguere fasi differenti nella soluzione di un problema. Il primo stadio che potremmo dire è la prova che le quantità ricercate esistono davvero. In molti ... casi il primo stadio della soluzione può essere così facile, che si passa immediatamente alla seconda fase della ricerca dei metodi calcolare le quantità sconosciute ricercate. Oppure anche se il primo stadio della soluzione non è così facile, può essere opportuno passare al secondo stadio. Perché se riusciamo a trovare metodi di calcolo che determinano le quantità incognite, il è inclusa la prova della loro esistenza.

Sono presenti n ot un piccolo numero di uomini che credono che il compito del matematico finisca qui. Ciò, credo, sia dovuto al fatto che il matematico puro di regola non ha l'abitudine di spingere la sua indagine al punto di scoprire qualcosa sulle cose reali di questo mondo. Lo lascia all'astronomo, al fisico, all'ingegnere. Questi uomini, d'altra parte, hanno il massimo interesse per i valori numerici effettivi che sono il risultato dei metodi matematici di calcolo. Supponiamo che il matematico fornisca loro un metodo di calcolo, perfettamente logico e conclusivo, ma che richieda 200 anni di incessante lavoro numerico per essere completato. Sarebbero giustificati nel pensare che questo non è molto meglio di nessun metodo.

Quindi sorge una terza fase della soluzione di un problema matematico in cui l'oggetto è sviluppare metodi per trovare il risultato con il minor numero di problemi possibile. Ritengo che questa terza fase sia un capitolo di matematica tanto quanto le prime due fasi e non basterà lasciarlo all'astronomo, al fisico, all'ingegnere o chiunque applichi metodi matematici, per questo motivo che questi uomini sono concentrati sui risultati e quindi saranno inclini a trascurare la piena generalità dei metodi su cui capita di imbattersi, mentre nelle mani del matematico i metodi sarebbero sviluppati da un punto di vista più elevato e il loro rapporto con altri problemi in altre discipline scientifiche è più probabile che le richieste ricevano la giusta attenzione. "



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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