Domanda:
Quali risultati teorici di gruppo erano noti per diversi casi speciali prima che fosse stabilita la definizione generale di gruppo?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
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Molti risultati nella teoria dei gruppi sono stati provati per i gruppi di permutazione prima che fosse stabilita la definizione generale di un gruppo (ad esempio: teorema di Lagrange, teoremi di Sylow). Tuttavia, i gruppi di permutazione non erano gli unici gruppi studiati nel diciannovesimo secolo, c'erano anche gruppi di trasformazioni geometriche e gruppi derivanti dalla teoria dei numeri (non posso davvero fornire maggiori dettagli perché francamente non conosco i dettagli).

Erano noti risultati di teoria dei gruppi generali per diversi casi specifici diversi dai soli gruppi di permutazione, prima che fosse formulata la definizione generale di un gruppo? Lo chiedo perché mi chiedo se tali "coincidenze" possano aver motivato la definizione generale di gruppo. Ad esempio, il teorema di Lagrange era noto nel XIX secolo sia per i gruppi di permutazioni che per il gruppo moltiplicativo di $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ (tramite Eulero).

Probabilmente vale la pena sottolineare (sebbene tu lo sappia sicuramente) che qualsiasi risultato puramente teorico di gruppo che può essere dimostrato per i gruppi di permutazione vale per i gruppi astratti dal teorema di Cayley.
L'insolvibilità dei polinomi di quinto ordine da parte dei radicali è stata dimostrata prima di Galois per quanto ne so. Ha posto le basi per il caso generale. Potresti discutere su quanto questo sia teorico di gruppo.
Due risposte:
#1
+5
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
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L'articolo The Abstract Group Concept, dall'archivio McTutor, fornisce un resoconto dei passaggi verso la moderna definizione astratta. In breve, Cayley fece i primi tentativi d'inciampo (citando esplicitamente la legge associativa) in un documento del 1854, ma solo nel 1895 Weber diede la definizione moderna, nel suo Lehrbuch der Algebra . Weber includeva infiniti gruppi.

Per quanto riguarda la domanda originale: a parte il teorema di Lagrange che hai menzionato, non sono a conoscenza di casi in cui la definizione astratta unificasse risultati separati precedenti. La definizione astratta non sembra essere stata motivata da questo desiderio. Tuttavia, è vero che i gruppi di Lie furono ispirati direttamente dai gruppi di permutazione di Galois e dal desiderio di Lie di sviluppare una teoria per le equazioni differenziali analoga alla teoria di Galois.

Sembra anche plausibile che Weber, scrivendo un testo completo sull'algebra, abbia visto la possibilità di unire nozioni disparate. Ma questa è solo una mia congettura.

#2
+2
Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
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"Quasi tutto" è stato trovato prima che fosse stabilita la definizione moderna generale di gruppo :-) Non sono sicuro chi abbia dato la prima definizione di gruppo astratto (come un insieme con un'operazione che soddisfi questi e questi assiomi). Ma probabilmente questo è accaduto nel XX secolo (varie persone sono accreditate di questo) .Per i matematici del 19 ° secolo un gruppo era un gruppo di trasformazioni di un insieme in se stesso. E i primi risultati profondi appartengono a Lagrange e Galois.

A Cayley viene generalmente attribuita la definizione astratta di gruppo. Immagino che nello stesso articolo del 1854 in cui dimostrò il teorema di Cayley.
@Michael Weiss: Può fornire un riferimento sull'articolo di Cayley? Ha considerato solo gruppi finiti o arbitrari? Se è così, allora tutti i risultati prima del 1854 sono stati provati prima della definizione generale di gruppo. In particolare, la teoria di Galois.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Non ho letto l'articolo da solo, da qui la mia formulazione del commento.
@Michal Weiss: bene, ho letto la prima pagina e conferma quanto ho detto: per Cayley gli ELEMENTI del gruppo sono "operazioni", o "trasformazioni", piuttosto gli elementi di qualche insieme astratto :-) Non credo che nessuno abbia usato " imposta "sistematicamente prima di Cantor.
Hai ragione, anche se se leggi il resto dell'articolo lo troverai a tentoni verso il concetto moderno. Nel frattempo ho trovato l'articolo dell'archivio di McTutor che delinea lo sviluppo del concetto astratto.


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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