Il nome "paradosso della scala" (o "paradosso di Pitagora") sembra essere recente, quindi è difficile cercarlo. Wolfram lo chiama "paradosso diagonale", ma questo potrebbe fonderlo con un diverso paradosso dovuto a Leibniz, che ha usato per argomentare contro l'effettiva esistenza degli indivisibili, vedere The Philosophical Assumptions Underlying Leibniz's Uso del paradosso diagonale nel 1672. La variante orizzontale zigzag / dente di sega sembra essere più antica, Lebesgue lo riferisce già nel 1890-s. Mathpages lo chiama paradosso del limite e Lukowski (p.13) paradosso dell'approssimazione. La costruzione del fiocco di neve di Koch (1904) utilizza un'idea correlata, così come il "paradosso della costa" di Mandelbrot, che attribuisce a Richardson (1961). Nel 1890 Schwarz diede una costruzione, che può essere vista come un'intelligente generalizzazione 2D del paradosso a dente di sega, di superfici poliedriche inscritte in un cilindro e convergenti ad esso ( lanterne di Schwarz), con le aree di superficie che crescono fino a infinito, vedi Area della superficie e paradosso dell'area del cilindro.

Amico in numeri: fatti divertenti di & (1954), p.72 fornisce il paradosso a dente di sega sotto il titolo "il campo dell'orzo". Lakoff e Núñez in Da dove viene la matematica (2000) discutono una variazione con semicerchi come un "paradosso classico dell'infinito". "Mostra" che $ π = 2 $ . La loro versione, insieme alla versione a dente di sega "che mostra" che $ 2 = 1 $ , appare in Paradoxes and Sophisms in Calculus, pp. 30-31. Nel 1997 ci fu una vivace discussione pedagogica che lo coinvolse nelle riviste MAA, vedi On Arc Length di Barry e riferimenti ivi contenuti. Barbeau nella sezione Fallacies, Flaws and Flimflam di CMJ menziona la storia di Lebesgue che Dave Renfro probabilmente sta ricordando:

" Una richiesta al newsgroup di matematica [email protected] ha suscitato risposte da John Conway, Roger Cooke, Mark McKinzie e Rick Otten, che hanno fornito i seguenti riferimenti. LC Young [7, 8] cita un aneddoto tratto dal libro di Lebesgue, In the Margin of the Calculus of Variations, in cui il paradosso veniva presentato come uno "scherzo" al College de Beauvais. "

Il libro di Young è Lectures on the Calculus of Variations and Optimal Control theory (1981), p.152, e cita direttamente Lebesgue (vedi immagine sotto):

" Tutti i miei documenti [su questo argomento] sono collegati alla" barzelletta "di uno scolaro. Al College de Beauvais mostravamo che, in un triangolo, un lato è uguale alla somma degli altri due. Sia $ ABC $ un triangolo. Se $ A_1, B_1, C_1 $ sono i punti centrali dei suoi lati, abbiamo $$ BA + AC = BC_1 + C_1A_1 + A_1B_1 + B_1C. $$ Su ciascuno dei triangoli $ BC_1A_1, A_1B_1C $ , procedi come su $ ABC $ . Otteniamo una linea spezzata, formata da otto segmenti, e uguale a $ BA + AC $ . Continuando in questo modo, si ottiene una sequenza di linee spezzate, che si allontanano sempre meno dal lato $ BC $ , e che hanno ancora come lunghezza la somma dei altri due lati del nostro triangolo originale. Gli alunni di Beauvais hanno concluso da ciò che il segmento BC, il limite geometrico delle nostre linee spezzate, aveva come lunghezza la somma degli altri due lati $ BA + AC $ . I miei compagni di scuola non vi videro altro che una bella barzelletta. A me, l'argomento è apparso molto inquietante, dal momento che non ho potuto vedere alcuna differenza tra esso e le prove relative alle aree e alle superfici di cilindri, coni, sfere e alla lunghezza di una circonferenza. "

En marge du calcul des variant di Lebesgue non sembra essere tradotto in inglese. Fu trovato solo dopo la sua morte e pubblicato nel 1963. Quattro dei sei capitoli erano stati precedentemente pubblicati come documenti.

Alla fine, Lebesgue fa probabilmente riferimento alle approssimazioni classiche delle lunghezze degli archi e delle aree superficiali con il "metodo di esaurimento". Nel calcolo delle variazioni all'epoca era attivo un lavoro sul problema isoperimetrico che sollevava questioni analitiche correlate. Si è scoperto che le prove classiche, da Zenodorus a Steiner, avevano lacune riguardo all'esistenza di figure limite. Weierstrass e Edler hanno fornito le prime prove rigorose per le curve nel 1879 e 1882 e Schwarz per le superfici nel 1890.

Questo è un seguito ad alcuni dei miei commenti all'OP e alla risposta data da @Conifold. Qualche giorno fa ho acquistato una copia del libro che avevo citato, Measure and the Integral di Lebesgue (1966). Avevo ragione quando dicevo che questo libro è dove, molti anni fa (anni '80, forse anche alla fine degli anni '70), avevo letto del fascino di Lebesgue per questo "paradosso". Tuttavia, contrariamente a quanto pensavo, il fascino di Lebesgue non è discusso nel saggio biografico di Kenneth O. May, ma appare invece nella sezione 66 alle pp. 97-98. Coloro che desiderano saperne di più su questi problemi che riguardano la lunghezza dell'arco e l'area della superficie troveranno il Capitolo V: Lunghezze delle curve. Aree di superfici (sezioni 62-83; pp. 92-124) particolarmente istruttive. Di seguito è riportata tutta la Sezione 66, seguita da alcune informazioni bibliografiche su questo libro del 1966.

66 Un paradosso simile per le lunghezze . $ \; \; \; \; $ Se i matematici non fossero stati ipnotizzati dalla parola "inscritto", se non avessero dimenticato che l'iscrizione era stata scelta solo come una modo di approssimare, avrebbero visto che la difficoltà incontrata per le aree esisteva ugualmente per le curve. Ora era proprio questa differenza tra curve e superfici a essere più scioccante. Consentitemi di fare riferimento ai miei ricordi.

Quando ero uno scolaro, in Francia si era convenuto, come ho detto [in precedenza], che si potevano valutare lunghezze, aree e volumi passando al limite. Presto i dubbi iniziarono ad apparire nei libri di testo. Gli studenti che avevano ascoltato le obiezioni di Schwarz nel corso di analisi di Hermite erano ora a loro volta diventati insegnanti. Del resto tutto ci ha poi predisposto ad un'analisi critica dei concetti: ricerche sulle funzioni di una variabile reale e sugli insiemi, che si cominciava a considerare, l'insegnamento di Tannery, che aveva suscitato in molti suoi allievi il desiderio di una comprensione completa o almeno precisione verbale. La gente ha cominciato a dubitare, a volte senza sapere di cosa dubitavano. Ad esempio, la determinazione dell'area di un cerchio mediante le aree dei poligoni che esso conteneva o che lo conteneva (vedere la sezione 42) è stata confusa con un argomento sui limiti.

In passato, quando ero uno scolaro, gli insegnanti e gli alunni si erano accontentati di questo ragionamento passando al limite. Tuttavia, ha smesso di soddisfarmi quando alcuni dei miei compagni di scuola mi hanno mostrato, verso il mio quindicesimo anno, che un lato di un triangolo è uguale alla somma degli altri due e che $ \ pi = 2. $ Supponi che $ ABC $ sia un triangolo equilatero e che $ D, $ span> $ E, $ e $ F $ sono i punti medi di $ BA, $ $ BC, $ e $ CA. $ La lunghezza di la linea tratteggiata [= percorso poligonale] $ BDEFC $ è $ AB + AC. $ Se ripetiamo questo procedura con i triangoli $ DBE $ e $ FEC, $ otteniamo una linea spezzata della stessa lunghezza fino a otto segmenti, ecc. Ora queste linee spezzate hanno $ BC $ come limite, e quindi il limite delle loro lunghezze, ovvero la loro lunghezza comune $ AB + AC, $ è uguale a $ BC. $ Il ragionamento riguardo a $ \ pi $ è analogo.

Niente , assolutamente niente, distingue questo ragionamento da quello che abbiamo usato per valutare la circonferenza e l'area di un cerchio, la superficie e il volume di un cilindro, un cono e una sfera. Questo risultato è stato estremamente istruttivo per me.

Inoltre, ogni paradosso è altamente istruttivo. A mio avviso, l'esame critico dei paradossi e la correzione del ragionamento errato dovrebbero essere esercizi standard, spesso ripetuti a livello secondario.

L'esempio precedente mostra che il passaggio al limite di lunghezze, aree o volumi richiede una giustificazione e, come l'esempio di Schwarz, è sufficiente a destare tutti i sospetti.

Henri Léon Lebesgue (1875-1941), Measure and the Integral , a cura di un saggio biografico di Kenneth Ownsworth May (1915-1977), The Mathesis Series, Holden-Day, 1966, xii + 194 pagine.

Questo libro è una traduzione inglese di due opere di Lebesgue. La prima opera è alle pp. 12-175 e la seconda è alle pp. 178-194.

La prima opera è stata originariamente pubblicata su L'Enseignement Mathématique con il titolo Sur la mesure des grandeurs e consiste in un'introduzione e 8 sezioni pubblicate in 6 parti: (i) L'E. M. (1) 31 # 2 (1932), pp. 173-206 [ Introduzione (pp. 173-174); I. Comparaison des Collections; Nombres Entiers (pagg. 175-181); II. Longueurs; Nombres (pagg. 182-206)]. (ii) L'E. M. (1) 32 # 1 (1933), pagg. 23-51 [ III. Aires (pagg. 23-51)]. (iii) L'E. M. (1) 33 # 1 (1934), pagg. 22-48 [ IV. Volumi (pp. 22-48)]. (iv) L'E. M. (1) 33 # 2 (1934), pagg. 177-213 [ V. Longueurs des Courbes. Aires des Surfaces (pagg. 177-213)]. (v) L'E. M. (1) 33 # 3 (1934), pagg. 270-284 [ VI. Grandeurs Mesurables (pagg. 270-284)]. (vi) L'E. M. (1) 34 # 2 (1935), pagg. 176-219 [ VII. Intégration et Dérivation (pagg. 176-212); VIII. Conclusioni (pp. 212-219)]. [[ Nota: "(1) 33 # 3" significa "serie 1, volume 33, numero 3". Non conosco le date precise dei numeri, o anche se esistono date più precise, quindi gli anni sono per i volumi. decreasing.

Il primo lavoro fu pubblicato come libro dal titolo Sur la Mesure des Grandeurs di Gauthier-Villars (Parigi) e L'Enseignement Mathématique (Ginevra) nel 1956 (iv + 184 pagine), ristampato con il titolo La Mesure des Grandeurs da Albert Blanchard (Parigi) nel 1975 (iv + 184 pagine).

Il secondo lavoro è la versione pubblicata di una conferenza tenuta da Lebesgue a Copenaghen l'8 maggio 1926 ed è stata originariamente pubblicata con il titolo Sur le développement de la notion d'intégrale in Matematisk Tidsskrift B [ after 1952 : Mathematica Scandinavica ] 1926 (1926), pp. 54-74, e ristampato con lo stesso titolo in Revue de Métaphysique et de Morale 34 # 2 (aprile-giugno 1927), pp. 149-167, tradotto in spagnolo e pubblicato in Revista Matemática Hispano-Americana con il titolo Evolución de la noción de integral e pubblicato in 2 parti: (i) R. M. H.-M. (2) 2 # 3 (marzo 1927), pp. 65-74. (ii) R. M. H.-M. (2) 2 # 4 (aprile 1927), pp. 97-106.

Recensioni di libri che conosco: Truman Arthur Botts, Science (NS) 155 # 3765 (24 febbraio 1967), p. 992; A. S. G., Current Science 36 # 7 (5 aprile 1967), p. 194; Thomas William Hawkins, American Mathematical Monthly 75 # 6 (giugno-luglio 1968), pp. 696-697; Roger Philip Rigelhof, Canadian Mathematical Bulletin 11 # 5 (dicembre 1968), pp. 753-754; Mark Edward Noble, Mathematical Gazette 52 # 382 (dicembre 1968), 412-413; André Reix, Revue Philosophique de la France et de l'Étranger 166 # 4 (ottobre-dicembre 1976), 437-438 (in francese).