"Controesempi" al teorema di Cauchy furono "scoperti" non appena lui lo dimostrò. Naturalmente Cauchy conosceva tutti questi "controesempi" ma insisteva che il suo teorema e la sua dimostrazione fossero corretti fino alla sua morte.

In particolare, il libro di Fourier sul calore è pieno di questi controesempi. Fourier triesto chiarisce la questione definendo una funzione continua come quella "il cui grafico può essere tracciato senza staccare la matita dalla carta". Quindi, dal punto di vista di Fourier, la curvatura è composta dal raggio $ x $ negativo, un segmento verticale da $ (0,0) $ a $ (0,1) $ e il raggio orizzontale da $ (0,1) $ al raggio giusto, è il grafico di una funzione continua :-).

Ricordo che la definizione di "funzione" ti viene insegnata nella tua classe di calcolo è dovuta a Dirichlet, e questo era molto più tardi di Cauchy. p>

La tua funzione che è zero su $ [0,1) $ e $ 1 $ su $ 1 $ semplicemente non era una "funzione" per Cauchy. Sull'evoluzione della nozione di "funzione", leggi l'articolo di Luzin sull'Amer. Matematica. Mensile.

Il problema è che né la nozione di funzione continua né la nozione di convergenza di funzioni erano sufficientemente formalizzate in quel momento. Se leggi la dimostrazione di Cauchy, è essenzialmente corretta, ma in realtà usa la convergenza uniforme. La nozione di convergenza uniforme non è stata formalizzata in quel momento.

Tutte queste cose sono state chiarite solo ai tempi di Weierstrass. Al giorno d'oggi stiamo tutti pensando nel quadro creato da Cantor, quindi non riusciamo a comprendere le difficoltà sperimentate dai matematici prima di Cantor, Dedekind e Weierstrass. Per capirli è necessario leggere i testi originali e dimenticare ciò che è stato insegnato nella classe di calcolo.

Aggiungerò alla risposta di Alexandre che con il modo in cui Cauchy pensava al continuum e definiva la convergenza, i "controesempi" non convergevano ai limiti che noi oggi attribuiamo loro. Per Cauchy i "punti" sono "punti mobili", quindi considererebbe $ x = 1-1 / n $ con la variabile $ n $ andando a $ \ infty $ un "punto" infinitamente vicino a $ 1 $ . Ma $ (1-1 / n) ^ n $ non converge in $ 1 $ , quindi $ x ^ n $ non converge in nulla in $ 1 $ secondo Cauchy. Ha respinto i "controesempi" di Abel e Fourier per gli stessi motivi, vedere Lakatos, Cauchy e il Continuum.

Con i "punti mobili" di Cauchy la sua convergenza "puntuale" si rivela Convergenza uniforme di Weierstass. Maggiori informazioni sulla comprensione di Cauchy degli infinitesimi e della continuità in Fisher's Cauchy and the Infinitely Small, che fornisce anche una moderna ricostruzione dell'argomento di Cauchy in termini di analisi non standard, dove è corretto.

La formulazione di Cauchy del teorema nel 1821 è ambigua e in ogni caso in un articolo del 1853 Cauchy sembra affermare che non era corretto come affermato. D'altra parte, nell'articolo del 1853 Cauchy modifica le ipotesi e afferma che questo si traduce in un vero teorema, fornendone una prova. L'esistenza di un risultato corretto (ipotesi modificate dal modulo) potrebbe spiegare perché potrebbe non essere ovvio che il teorema non fosse corretto.

Molto inchiostro è stato versato su questo problema. L'utente Conifold sembra utilizzare la terminologia di Lakatos che ha cercato di spiegare Cauchy in termini di cosiddetti "punti mobili". Personalmente non capisco quali siano questi punti in movimento e preferisco la spiegazione fornita da D. Laugwitz nel suo articolo del 1987 in Historia Mathematica qui: http://www.sciencedirect.com/ science / article / pii / 0315086087900450

Nel suo articolo Laugwitz sottolinea che fornisce un'interpretazione utilizzando i concetti di Cauchy e che non sono necessari numeri non standard per spiegare Cauchy, contrariamente a Fisher citato dall'utente Conifold.

Il nostro recente articolo tratta alcuni aspetti di questo dibattito: http://dx.doi.org/10.1007/s10699-015-9473-4