Domanda:
Esistono fonti scritte (XIX secolo) che esprimono la convinzione che la proprietà del valore intermedio sia equivalente alla continuità?
Andrés E. Caicedo
2014-10-29 12:13:53 UTC
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Come richiesto nel titolo:

Esistono fonti scritte (del XIX secolo) che affermano esplicitamente la convinzione che qualsiasi funzione che soddisfa la proprietà del valore intermedio sia continua?

(Non credo abbia senso cercare fonti precedenti, poiché la nozione di continuità stessa non è stata resa rigorosa fino al XIX secolo. Questa domanda è nata da una risposta che ho dato in Math.Stackexchange. Ciò che segue prende in prestito molto da quella risposta.)

Se I è un intervallo ef: I → ℝ, diciamo che f ha il proprietà del valore intermedio se e solo se ogni volta che a ≠ b sono punti di I, se c è tra f (a) e f (b), allora c'è un annuncio tra a e b con f (d) = c.

Bolzano pubblicò nel 1817 il suo articolo Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege ( Prova puramente analitica del teorema che tra due valori qualsiasi che danno risultati di segno opposto c'è almeno una radice reale dell'equazione). Lì, dimostra che le funzioni continue soddisfano la proprietà del valore intermedio. Come egli indica nel documento, la proposizione era ampiamente ritenuta vera e diversi argomenti "geometrici" erano stati forniti cercando di giustificarla.

D'altra parte, ora sappiamo che la proprietà del valore intermedio è molto più debole della continuità. Un bel sondaggio contenente esempi dettagliati di funzioni che sono discontinue e tuttavia hanno la proprietà del valore intermedio è

I. Halperin, Funzioni discontinue con la proprietà Darboux , Can. Matematica. Bull., 2 (2) , (maggio 1959), 111-118.

Nell'articolo di Halperin troviamo la divertente citazione

Fino al lavoro di Darboux nel 1875 alcuni matematici credevano che la proprietà [il valore intermedio] implicasse effettivamente la continuità di f (x).

Questa affermazione è ripetuta in (molti) altri posti. Ad esempio, qui si legge

Nel XIX secolo alcuni matematici credevano che la proprietà [il valore intermedio] fosse equivalente alla continuità.

Questo è molto simile a quello che troviamo in A. Bruckner, Differenziazione di funzioni reali , AMS, 1994. A pagina 5 leggiamo

Questa proprietà è stata ritenuta, da alcuni matematici del XIX secolo, equivalente alla proprietà della continuità.

Wikipedia:

Storicamente, questa proprietà di valore intermedio è stata suggerita come una definizione per la continuità di funzioni a valori reali [citazione necessaria].

Non sono stato in grado di trovare una fonte diretta che esprima questa convinzione. Che questo fosse effettivamente il caso è forse supportato dalle seguenti due citazioni da Mémoire sur les fonctions discontinues di Gaston Darboux, Ann. Sci. Scuola Norm. Sup., 4 , (1875), 161–248. Per prima cosa, alle pagine 58-59 leggiamo:

Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on considererait à bon droit comme évidents oru que l'on accorderait in the applications de la science aux fonctions usuelles, doivent être soumis à una critica rigoureuse in theexposé des propositions parenti aux fonctions les plus générales. Per esempio, in verra qu'il existe des fonctions continua qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il ya des fonctions interrompe qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

L'articolo di Darboux dimostra che i derivati ​​hanno la proprietà del valore intermedio e che ci sono derivati ​​discontinui, verificando quindi prima che le due nozioni non siano equivalenti. (Per questo motivo, la proprietà del valore intermedio è talvolta chiamata proprietà Darboux o, addirittura, si dice che una funzione con questa proprietà è Darboux continuativa .)

La dimostrazione che le derivate hanno la proprietà del valore intermedio inizia a pagina 109, dove leggiamo:

En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' il existe des fonctions interrompe qui jouissent d'une proprieté que l'on riguardo a quelquefois comme le caractère distinctif des fonctions continua, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.

Wikipedia menziona quanto segue:

Prima di dare la definizione formale di continuità, la proprietà del valore intermedio è stata data come parte della definizione di un funzione continua. I fautori includono Louis Arbogast, che presumeva che le funzioni non avessero salti, soddisfacessero la proprietà del valore intermedio e presentassero incrementi le cui dimensioni corrispondevano alle dimensioni degli incrementi della variabile.

L'articolo cita questo sito, sebbene non sia stato in grado di verificarlo dagli scritti di Arbogast (o dal sito collegato). In effetti, Arbogast sembra avere una nozione di funzione che è significativamente più restrittiva della nostra nozione moderna di continuità, e quindi il teorema del valore intermedio vi regge. Non vedo che si rivolge direttamente alla proprietà del valore intermedio o indica che implica continuità. (Data la sua comprensione di cosa sia una funzione, non sono nemmeno sicuro che ciò sarebbe stato significativo.)

Infine, permettimi di chiedere:

Se in realtà non è vero che la credenza nell'equivalenza di queste due nozioni è stata esplicitamente affermata in letteratura, da dove ha origine la falsa affermazione? (È nel documento di Halperin?)

Sono stato recentemente informato di [MR0165049 (29 # 2340)] (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=165049). Valabrega, Elda Gibellato. * Il teorema di esistenza degli zeri delle funzioni continua nell'analisi moderna *. Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Stuoia. Natur. ** 98 ** 1963/1964 437–444. Il giornale sembra occuparsi, almeno in parte, proprio di questa questione. Lo espanderò in una risposta una volta che avrò letto attentamente l'articolo e confermato la sua rilevanza.
Tre risposte:
#1
+10
VicAche
2014-11-03 03:13:10 UTC
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Una risposta alla tua domanda potrebbe essere che la separazione in realtà è arrivata piuttosto tardi. Wikipedia afferma che "gli autori precedenti ritenevano che il risultato fosse intuitivamente ovvio e non richiedesse alcuna prova", quindi fino a quando la continuità non fu formalizzata da Bolzano e Cauchy, credo che non abbia senso trovare prove. Quindi dobbiamo cercare persone che leggono Bolzano o Cauchy e credono che la proprietà del valore intermedio sia equivalente alla continuità.

Come hai già affermato nella tua domanda, Darboux ha mostrato nel 1875 che potresti verificare il teorema senza essere continuo. Questo lascia una piccola finestra - 1817-1875 - per trovare assurdità pubblicate.

Ed ecco che arriva Darboux stesso.

La propriété précédente a souvent étée prize pour la définition des fonctions continua

che traduce:

La proposizione di cui sopra è stata spesso confusa con la definizione di funzione continua

Quindi questo risponde alla tua seconda domanda: se non è possibile trovare prove precedenti, Darboux stesso ha affermato che l'errore era diffuso prima del suo lavoro.

Nell'introduzione della stessa memoria, Darboux afferma che M. Il lavoro di Hankel del 1870 riguardante il memoriale di Riemann non era al di là di ogni rimprovero, ma non è chiaro se a questo punto si tratti dell'esistenza di una derivata a tutte le funzioni o del teorema del valore intermedio. Credo che uno disposto a trovare prove di una confusione potrebbe esaminare il lavoro di M. Hankel, ma non sono riuscito a trovare l'articolo descritto da Darboux.

Si Grazie. Sono d'accordo che solo gli articoli dopo quello di Bolzano e quelli precedenti a quello di Darboux sembrano pertinenti. Ho anche indicato nella domanda che Darboux suggerisce che l'errore era "comune" (le due virgolette che ho scelto volevano illustrare questo). Non ho nemmeno visto l'articolo di Hankel; Vedrò se riesco a ottenere una copia nei prossimi giorni.
#2
+4
Ben Crowell
2015-10-20 20:44:44 UTC
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Questa non è veramente una risposta, ma è troppo lunga per essere inserita in un commento. La domanda presuppone che, secondo le definizioni del XIX secolo, è falso che la proprietà del valore intermedio implichi continuità. Per me è tutt'altro che chiaro che fosse così.

Ci sono molti modi possibili per formulare la definizione della funzione. Tre esempi sarebbero definire la nozione come una formula, usare nozioni di set di punti o procedere come nella moderna analisi infinitesimale liscia (SIA). Per quanto ne so dall'articolo di WP " Storia del concetto di funzione," la versione point-set non è stata completamente sviluppata e universalmente accettata fino al XX secolo.

Se abbiamo un controesempio per l'affermazione, allora per ogni $ y $ reale, abbiamo un insieme $ S_x $ di $ x $ valori equivalenti ai razionali, con tutti i $ S_x $ disgiunti e giacenti in un intervallo finito . Ciò equivale a una prova che $ \ mathbb {R} $ è equivalente a $ \ mathbb {R} \ times \ mathbb {Q} $. Ciò richiede almeno quanto segue:

(1) Accettiamo l'esistenza di funzioni discontinue ovunque.

(2) Accettiamo l'analisi cantoriana degli infiniti.

Queste sono entrambe scelte filosofiche significative, non verità inevitabili. # 1 è falso in SIA, per esempio. Il n. 2 era molto controverso alla fine del XIX secolo.

Quindi penso che un modo migliore per porre la domanda potrebbe essere più simile a questo: a che punto nel XIX o Nel XX secolo si è sviluppato un consenso sufficiente sulle definizioni e la filosofia per rendere falso, secondo le scelte standard, che la proprietà del valore intermedio implica continuità?

#3
  0
Michael
2019-06-14 01:34:34 UTC
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Francamente, non capisco come qualcuno nel XIX secolo avrebbe potuto pensare che la proprietà del valore intermedio implichi continuità. Prendi $ y (x) = 0 $ se $ x = 0 $ e $ y = sin (1 / x) $ altrimenti e hai il tuo controesempio.

Sospetto che le funzioni definite dall'analisi dei casi sui reali siano state prese in considerazione piuttosto tardi. Qualcuno sa i dettagli?


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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