Domanda:
In che forma esiste oggi il campo della metamatematica?
Brian Rushton
2014-10-29 05:20:28 UTC
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Stavo riscrivendo l'articolo di Wikipedia per la metamatematica ed è stato molto difficile trovare riferimenti dopo gli anni '30. Le opere più importanti sembrano essere state il teorema di completezza e incompletezza di Gödel.

Esiste un campo della matematica oggi che sia il successore spirituale della metamatematica studiata da Gödel, Hilbert e gli autori dei Principia Mathematica?

Mi piace questa domanda perché esclude l'utilizzo di wikipedia per la risposta! :)
È da un po 'che non leggo GEB ("Godel Escher Bach"; Hofstadter) ma questo potrebbe dare un indizio o finisce con Turing (cioè non lontano da Godel!)?
Un voto positivo per aver tentato di affrontare questo argomento su Wikipedia.
Due risposte:
#1
+13
Andrés E. Caicedo
2014-11-01 02:08:41 UTC
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Al giorno d'oggi, la metamatematica è una parte standard del panorama della logica matematica.

Da un lato, la maggior parte del lavoro sui fondamenti della matematica dovrebbe probabilmente essere considerata metamatematica. La base standard è la teoria degli insiemi, con ZFC e le sue varianti che sono le solite formalizzazioni. Ma questa non è di gran lunga l'unica opzione e, ad esempio, c'è un lavoro recente su ciò che ora chiamiamo fondamenti univalenti basati sulla teoria dell'omotopia astratta. In un certo senso questo è forse più vicino a Principia che a ZFC, poiché la teoria dei tipi gioca un ruolo importante. D'altra parte, l'approccio è davvero teorico di categoria e le categorie non erano realmente concepite ai tempi dei Principia. Sebbene questo nuovo approccio stia ricevendo una grande quantità di attenzione, la comunità dei logici in generale sta solo iniziando a comprenderne la portata e le possibilità. Una recente serie di discussioni nella lista di posta elettronica FOM (fondamenti della matematica) illustra la tensione attuale.

Una larga parte della ricerca in aree standard della logica matematica è guidata da considerazioni metamatematiche , anche se non nel senso di fondazioni riviste.

Ad esempio, la matematica inversa (menzionata anche in un'altra risposta) studia la questione di quali assiomi dell'esistenza di insiemi siano effettivamente necessari per argomenti matematici standard. I risultati tipici qui sostengono che un teorema standard (come il teorema del valore intermedio nell'analisi classica) è equivalente o, almeno, implica (su una teoria di base ragionevolmente debole in cui si svolge la discussione) un assioma astratto di "esistenza" (ad esempio, ogni albero binario infinito ha un ramo infinito) o un'istanza di induzione matematica.

La teoria della dimostrazione tratta le teorie come oggetti matematici e studia la loro forza, sulla base della lunghezza delle dimostrazioni (opportunamente definita) rispetto ad alcune opzioni standard, o in modi più sottili (come considerazioni della cosiddetta dimostrazione ordinali teorici). Ad esempio, all'interno dell'aritmetica di Peano, il sistema standard di assiomi del primo ordine per la teoria dei numeri, possiamo facilmente definire le macchine di Turing, la solita formalizzazione dei "programmi per computer". Possiamo quindi affermare se una relazione binaria < 'sui numeri naturali è ricorsiva, il che significa che esiste un algoritmo (una macchina di Turing) che può decidere di qualsiasi coppia di numeri n, m, se n<'m. Molte relazioni ricorsive sono in realtà ben ordinate, e data una tale relazione R e una teoria T (che estende l'aritmetica di Peano) possiamo chiederci se T può privare che R sia un buon ordinamento. In generale, la lunghezza degli ordinamenti ben dimostrabili è significativamente piccola, se confrontata con la lunghezza di tutti gli ordinamenti ben ricorsivi. Possiamo quindi confrontare le teorie verificando quali possono dimostrare una buona ordinabilità di ben ordinamenti più lunghi (ricorsivi). Sulla base di questa descrizione, questo sembra un po 'eccentrico, ma questo è strettamente legato a quanta induzione transfinita la teoria può formalizzare e dimostrare, quindi questi ordinali della teoria della prova sono in realtà parametri molto ragionevoli del potere di espressione e forza delle teorie.

Nella teoria degli insiemi, uno dei temi standard è il confronto della forza di coerenza delle teorie. Dal lavoro di Goedel, sappiamo che una teoria ragionevole T non può dimostrare la propria coerenza, quindi se una teoria T riesce a dimostrare la coerenza di una teoria S, questo ci dà un modo naturale in cui T è più forte di S. La forza di coerenza risultante la gerarchia è un affascinante oggetto matematico. Si scopre che per le estensioni naturali T di ZFC, tendiamo a essere in grado di identificare un grande assioma cardinale che quando aggiunto a ZFC risulta in una teoria equiconsistente con T. Questo ci dà un grande compagno cardinale di T, e lo studio puramente matematico dei grandi cardinali riflette poi lo studio dei punti di forza delle teorie. Che esista una cosa del genere è straordinario. La teoria dei modelli interni è l'area della teoria degli insiemi che più direttamente si occupa di cercare di spiegare questo fenomeno. L'effettiva identificazione del compagno di una teoria, d'altra parte, è oggi una questione prevalentemente combinatoria, grazie allo sviluppo di Cohen del metodo di forzatura.

I riferimenti su basi univalenti possono essere trovati qui e qui. Sulla matematica inversa, vedi ad esempio qui oltre al collegamento fornito nell'altra risposta. Sulla teoria della dimostrazione, vedi qui. Per la gerarchia della forza di coerenza nella teoria degli insiemi, vedere qui, sebbene anche molti articoli e discorsi di John Steel siano rilevanti. Inoltre, molti dei miei post in MathOverflow e Math.Stackexchange sono correlati a questo argomento. Consentitemi di individuare questo.

#2
+9
quid
2014-10-31 20:18:52 UTC
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Ci sono vari lavori più recenti su argomenti che possono essere considerati metamatematica.

Ad esempio, Reverse Mathematics è stato avviato da Harvey Friedman a metà degli anni Settanta.

Recentemente, c'è stata un po 'di eccitazione intorno alla teoria dei tipi di omotopia e fondamenti univalenti non solo ma anche perché si lega bene allo sforzo di avere una prova verificabile automaticamente.

E, inutile dirlo, ci sono vari altri lavori sulla teoria della dimostrazione e altri rami della logica matematica. Il problema che potresti percepire è ciò che è espresso in una risposta su MathOverflow a una domanda sulla metamatematica; i problemi sono ancora studiati ma non più percepiti come meta -matematica ma piuttosto "matematica normale".

Portare la tua domanda in una direzione un po 'diversa potrebbe sostenere che gli sforzi per rendere sempre più la matematica suscettibile di verifica formale tramite assistenti di prova o anche dimostrazione automatica di teoremi è la naturale e attuale continuazione dei primi sforzi per formalizzare la matematica.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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