Domanda:
Cosa ha spinto Cantor a inventare la teoria degli insiemi?
Ben
2014-10-29 11:13:15 UTC
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Non riesco a immaginare la matematica senza insiemi, ma la domanda "com'era la matematica prima che esistessero gli insiemi" non ha risposta, credo. Invece, una buona risposta alla domanda del titolo dovrebbe coprire un certo aspetto della domanda più generale.

Penso che fosse in gioco anche un'idea per fondare le basi della matematica. Se Cantor fosse nuovo su questo non sono sicuro.
Non so se questo collegamento sia già fornito in questo thread, ma penso che dovrei condividerlo qui. http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/19/11/0977-0999.pdf
Grazie @ankit, è un articolo molto carino e assolutamente rilevante.
Ovviamente non puoi immaginare la matematica senza gli insiemi: la matematica prima della teoria formale degli insiemi non è la stessa della "matematica prima che esistessero gli insiemi". Come se gli * algoritmi * esistessero da sempre, sebbene la loro formalizzazione non abbia 150 anni, le persone usavano sempre intersezioni di raccolte (* set *) e così via.
Tre risposte:
#1
+40
quid
2014-10-29 15:41:32 UTC
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Una motivazione immediata di Cantor a lavorare su quella che divenne la teoria degli insiemi fu il suo precedente lavoro sulle serie trigonometriche. Per risolvere un problema in quel dominio ha considerato l'insieme (un insieme chiuso) di zeri di tale funzione, quindi l'insieme derivato di questo insieme, l'insieme derivato di questo insieme e così via. Tutto questo è ancora classico, ma poi ho dovuto fare un passo oltre per considerare prima l'intersezione di tutti questi insiemi, quindi l'insieme derivato di quell'insieme e così via.

Quindi arrivò a considerare gli ordinali transfiniti.

Questo è discusso in vari punti, tra cui "Teoria degli insiemi e unicità delle serie trogonometriche" di Kechris o " Unicità delle serie trigonometriche e teoria descrittiva degli insiemi, 1870-1985 "di Roger Cooke (Archive for History of Exact Sciences, 1993)

Il documento originale è (credo) " Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math . Annalen, 1872) "

Un'altra motivazione era il suo precedente lavoro sulla teoria dei numeri. Usando quello che ora viene chiamato un argomento di diagonalizzazione, fu in grado di dimostrare i risultati sull'esistenza di numeri trascendentali. Questo è nel suo articolo del 1874 "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Su una proprietà della raccolta di tutti i numeri algebrici reali")

In breve, la motivazione originale era di avere strumenti migliori per fare progressi sui problemi esistenti.

Hai delle referenze per il primo punto?
Ho aggiunto alcuni riferimenti.
Oltre ai riferimenti che suggerisci, il luogo standard per leggere su questo è la prefazione di Jourdain alla sua traduzione della matematica di Cantor. Memorie di Annalen, [* Contributi alla fondazione della teoria dei numeri transfiniti *] (https://archive.org/details/contributionstot003626mbp).
La discussione più dettagliata che conosco in inglese per gli articoli della serie trigonometrica di Cantor è * The trigonometric background to Georg Cantor's Theory of Sets * di Dauben. Per quanto riguarda Cantor che estende l'argomento della numerabilità dai razionali ai numeri algebrici, questo ha avuto origine da Dedekind nelle lettere a Cantor. Le traduzioni in inglese delle lettere pertinenti si trovano alle pagine 844-850 del libro di Ewald (riferimento ** [7] ** [qui] (http://hsm.stackexchange.com/questions/451/did-galileos-writings-on -infinito-influenza-cantore)). Si vedano anche le pagine 177-186 del libro di Ferreirós del 1999 e la sua Historia Math del 1993. carta.
#2
+18
Alexandre Eremenko
2014-11-08 19:11:31 UTC
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In realtà Cantor stava lavorando su un problema specifico della teoria delle serie trigonometriche, il cosiddetto problema di unicità (non posso essere più specifico fino a quando MathJax non viene introdotto in questo sito). Questo problema lo ha portato a considerare insiemi arbitrari sulla linea reale. Intendo insiemi più complicati degli insiemi finiti o dell'unione finita di intervalli. A quel tempo non c'erano strumenti né terminologia per studiare gli insiemi arbitrari, quindi è stato necessario creare tutto questo.

Nel processo di questo studio ha creato non solo la teoria degli insiemi, ma anche quella che viene chiamata adesso Topologia generale . (È interessante notare che il problema originale sulle serie trigonometriche non ha una soluzione completa fino ad oggi :-)

Il metodo di dimostrazione originale, la cosiddetta "procedura diagonale" risale al predecessore di Cantor, Paul du Bois Reymond, che stava anche studiando le serie trigonometriche.

Scusa per il pignolo ma è la seconda volta che lo noto: MathJax non MathJack.
Inoltre, la procedura diagonale è nata in un ambiente estraneo allo studio delle serie trigonometriche. [Qui] (http://math.stackexchange.com/a/538578/462) ci sono alcuni dettagli. E [qui] (http://andrescaicedo.wordpress.com/2013/11/04/analysis-on-praise/) è una citazione di Hardy che forse spiega perché du Bois-Reymond non è meglio conosciuto.
Hai assolutamente ragione. La procedura diagonale è stata utilizzata per le domande di tipo "ordini di infinito". Ma du Bois-Reymond ha anche studiato le serie trigonometriche, solo un'interessante coincidenza :-)
@quid: Grazie! Puoi effettivamente modificare il testo quando noti errori di stampa.
Sfortunatamente non ho ancora abbastanza punti qui per modificare e per le modifiche suggerite c'è un limite di caratteri.
#3
+1
user5737
2017-05-10 16:06:09 UTC
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Secondo lo stesso Cantor, il suo desiderio era sostituire la spiegazione meccanica della natura con una teoria più completa. Vedi diversi aspetti in Cosa delle affermazioni di Cantor si è avverato??



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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