Domanda:
Quali sviluppi / scoperte matematiche fecero sì che i numeri immaginari guadagnassero l'accettazione all'epoca (XVIII secolo)?
Tom Au
2014-10-29 04:42:14 UTC
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In un articolo Wiki sui numeri immaginari è stato affermato che "l'uso di numeri immaginari non era ampiamente accettato fino a quando il lavoro di Leonhard Euler (1707–1783) e Carl Friedrich Gauss (1777–1855 ). "

Cosa ha motivato i contributi di Eulero e Gauss alla teoria dei numeri immaginari? Ad esempio, so che Eulero ha prodotto la formula che in seguito ha portato al teorema di DeMoivre, ma non capisco bene perché. E le loro vite si sovrapponevano a malapena, quindi perché nessuno "in mezzo" ha raccolto il "testimone" da Eulero a Gauss?

(Ironia della sorte, René Descartes, che ha deriso i numeri immaginari, ha fondato il "cartesiano" ( 2x2) sistema di coordinate, che è parallelo al piano su cui sono rappresentati anche i numeri immaginari. Potrebbe essere stato il caso di un contributo "accidentale".

Piccolo pignolo: il teorema di de Moivre precede l'identità di Eulero; è stato originariamente derivato da lui in una forma nel 1707, e più tardi nella sua forma familiare nel 1722. L'identità di Eulero non è necessaria per dimostrare il teorema di de Moivre, ma semplifica drasticamente la dimostrazione.
Buoni riferimenti per questo sono il primo capitolo del libro di Tristan Needham * Visual Complex Analysis * e i capitoli sui numeri complessi in * Mathematics and Its History * di Stillwell.
Tre risposte:
#1
+19
Danu
2014-10-29 05:11:05 UTC
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Il primo uso serio di numeri complessi è trovare le radici di polinomi quadratici, cubici e quartici. Cardano, nella sua Ars Magna (1545), mostrò per primo che le equazioni quadratiche potevano avere radici (formalmente) complesse, sebbene non le chiamasse così; ha detto che erano "tanto sottili quanto [sono] inutili". Nel testo algebrico di Bombelli (1572), sviluppò le regole dell'aritmetica complessa e dimostrò che la formula di Cardano per la cubica poteva portare a soluzioni reali anche se i risultati intermedi erano immaginari. A proposito, mi è stato detto in più occasioni che la notazione $ i = \ sqrt {-1} $ è stata sviluppata solo per proteggersi dal comune errore di " dimostrando ' $$ (\ sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$

Una visione chiave che è stata raggiunta all'inizio del XVIII secolo è la profonda connessione tra numeri complessi e geometria. È stato osservato che $ i $ può essere utilizzato per semplificare molte identità trigonometriche e nel 1748 Eulero scoprì la sua famosa e bellissima formula $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ (La derivazione era piuttosto diversa da quella solitamente presentata nei libri di testo di oggi; vedi questa voce nella serie Come fece Eulero .

La concezione di un numero complesso come un punto nel piano è un'altra scoperta degna di nota. Questa costruzione era già usata da Wessel nel 1799 ed è stata riscoperta in modo indipendente da Argand, ma ha davvero guadagnato popolarità quando Gauss ha pubblicato il suo trattato sui numeri complessi. Questo libro ha anche stabilito gran parte della moderna notazione e terminologia utilizzata nell'analisi complessa.

A proposito, ecco il documento originale di Wessel. http://books.google.com/books?id=8jIyAQAAMAAJ&pg=PA336&dq=Nye+samling+af+det+Kongelige+danske+videnskabernes+selskabs+skrifter&hl=en&sa=X&ei=Z0FwVMHDIbHmsASaqone&AQEFALFASa04G04AQEQEQEQEFHM&A04G04G04G04G04G04G04G04G04GQ qui: http://books.google.com/books?id=idM6nvbz9xgC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
Per quanto riguarda il motivo per cui $ i $ è stato introdotto, un'altra possibile spiegazione: si è ritenuto che questa importante costante matematica meritasse un nome standard, come $ e $ e $ \ pi $. La spiegazione data nella risposta è menzionata in Wikipedia, ma è contrassegnata con * [citazione necessaria] *.
#2
+6
Alexandre Eremenko
2014-10-29 07:12:58 UTC
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Solo per completare la risposta di Danu. Alcune persone usavano numeri complessi sin dal XVI secolo, tuttavia, l'accettazione AMPIA arrivò più tardi (alla fine del XVIII secolo) quando diverse persone (Argand, Vessel, Gauss) scoprirono l'interpretazione geometrica.

Questa era apparentemente un passaggio cruciale. Tuttavia, non erano universalmente riconosciuti. Dicono che nemmeno Chebyshev li abbia mai usati.

Un altro evento che potrebbe essere significativo: all'inizio del XIX secolo, i fisici iniziarono a usarli (Fresnel).

A proposito di Frenel: hai un riferimento? Non ho trovato alcun uso di numeri complessi di Fresnel nel molto esauriente * The Rise of the Wave Theory of Light * di Jed Buchwald; Fresnel sembra aderire a seno e coseno.
Non ho letto Fresnel. Probabilmente queste informazioni provengono da Whittaker, Storia delle teorie dell'etere e dell'elettricità, ma devo controllare. Nello specifico stiamo parlando di riflessione interna totale (vedi Wikipedia) ma non sono sicuro che la derivazione in Wikipedia sia di Fresnel.
#3
+5
timur
2017-09-28 08:08:41 UTC
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Oltre alla necessità nel calcolo delle radici dei polinomi cubici, c'è un altro ruolo più fondamentale che i numeri complessi giocano nelle equazioni polinomiali, che iniziò ad essere apprezzato solo nel XVII secolo. Questo ruolo è espresso attraverso il teorema fondamentale dell'algebra , che dice che ogni equazione polinomiale non costante ha almeno una radice, se permettiamo ai numeri complessi di essere radici, cioè se $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ sono numeri reali tali che almeno uno tra $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ è diverso da zero, quindi l'equazione \ begin {equation} \ label {e: polynomial-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {equation} ha una soluzione, ammesso che $ x $ possa avere valori complessi. Se $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , quindi l'equazione $ p (x) = 0 $ diventa $ a_0 = 0 $, che non ha alcuna soluzione (complessa) quando $ a_0 \ neq0 $ .Quindi la condizione che almeno uno tra $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ è diverso da zero (cioè $ p (x) $ non è costante) serve semplicemente a escludere questo caso banale. dell'algebra è miracoloso perché i numeri complessi sono progettati per risolvere qualsiasi equazione quadratica, ed è a priori concepibile che dobbiamo introdurre un nuovo tipo di "numero" ogni volta che aumentiamo il grado di un'equazione polinomiale La prima formulazione del teorema fondamentale dell'algebra è stata data da Albert Girard (1595-1632) nel 1629, sebbene non abbia tentato una dimostrazione. l'inizio di un'era in cui l'esistenza e l'utilità dei numeri complessi erano ampiamente accettate.

Ogni dubbio sull'esistenza e l'importanza dei numeri complessi è stato completamente eliminato dopo lo sviluppo di analisi complessa , nota anche come teoria delle funzioni . La motivazione iniziale per studiare le funzioni di una variabile complessa era di usarle per calcolare (o semplificare) integrali definiti reali, e i lavori pionieristici in questa direzione furono compiuti da Euler e Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) intorno al 1760-1780. Le funzioni complesse hanno una loro ricca teoria. Gauss raggiunse la stessa comprensione già nel 1811 e giocò un ruolo importante nella divulgazione dei numeri complessi, ma non contribuì direttamente allo sviluppo dell'analisi complessa. Pertanto, all'incirca tra il 1820 e il 1850, Cauchy sviluppò da solo tutti i risultati di base dell'analisi complessa, forse con l'eccezione della serie di Laurent, che apparve per la prima volta in un articolo presentato da Pierre Alphonse Laurent (1813-1854) nel 1843.



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