Domanda:
Qual è stata la risposta a questo paradosso prima di Cantor?
Konstantinos Gaitanas
2015-04-02 18:11:44 UTC
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Non ricordo il nome / la fonte di questo paradosso, ma ricordo di averne discusso con matematici e non matematici almeno 5 volte.
Funziona così:

"Ogni punto di una linea ha una lunghezza di $ 0 $ e ogni segmento di linea è costituito da punti. Quindi la lunghezza del segmento di linea è la somma $ 0 + 0 + \ ldots = 0 $"

che sembra un paradosso.
Ovviamente il numero di punti su un segmento di linea è innumerevole, quindi la "somma" in realtà non contiene tutti i punti, quindi c'è un errore evidente e abbiamo finito.
La mia domanda è :
Questo paradosso è stato discusso (o risolto) prima di Cantor?

Non so perché dici "prima di Cantor". Le idee di Cantor, pur non essendo irrilevanti per questa questione, non la risolvono certo da sole.
@EricWofsey perché no?
"Un segmento di linea è costituito da punti" è una concezione molto moderna. In Euclide ci sono linee, ci sono punti e c'è incidenza (se un dato punto è su una data linea). Ma certamente non c'è alcuna affermazione che il segmento di linea sia costituito da punti.
È un peccato che tu abbia menzionato Cantor nel titolo. Anche se non ho una risposta alla domanda, mi sembra che questo "paradosso" sia più correlato alla teoria della misura che alla teoria degli insiemi. Il fatto è che la misura di un'unione numerabile_ disgiunta di insiemi misurabili è la somma delle loro misure, questo non è vero per un'unione non numerabile (anche se quella somma è definita). Nota anche che il fatto che ci siano innumerevoli punti sul segmento di linea significa che _non_ puoi_ scrivere la somma come $ 0 + 0 + 0 + \ cdots $: non c'è modo di "allineare" i contributi in un tale (numerabile!) somma.
Sebbene la maggior parte delle persone oggi pensi a una linea come a un punto fisso, questa non è l'unica possibilità. Nell'analisi infinitesimale liscia (SIA), ad esempio, una linea non è un punto impostato.
Cantor non ha affrontato questo problema, né i concetti che ha sviluppato. Cantor si preoccupava della cardinalità, non della lunghezza. La cardinalità dell'insieme di numeri reali compreso tra 0 e 1 è uguale alla cardinalità dell'insieme dei numeri reali compreso tra 0 e 2 (o tra due limiti finiti qualsiasi), e anche la cardinalità dell'insieme di tutti numeri reali. I limiti (o la loro mancanza) ovviamente fanno una grande differenza nella lunghezza dei set in questione. Cardinalità e lunghezza (teoria della misura) sono concetti molto distinti.
Quattro risposte:
#1
+16
Carlo Beenakker
2015-04-02 19:20:06 UTC
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Zeno (intorno al 500 a.C.) ha sollevato questo paradosso per argomentare contro la nozione di "pluralità", sostenendo che una credenza l'esistenza di molte cose piuttosto che di una sola porta a conclusioni assurde: Se ci sono molte cose, devono essere piccole e grandi; così piccolo da non avere dimensioni, ma così grande da essere illimitato.

Vedi la sezione 2.2 di I paradossi di Zeno nella Stanford Encyclopedia of Philosophy. La citazione seguente è tratta da una discussione del libro di Zenone sui paradossi di Simplicius (che scriveva mille anni dopo Zenone apparentemente aveva ancora il suo book, che ora è andato perduto):

Se una cosa non ha grandezza o massa o massa, non esisterebbe. Perché se fosse aggiunto a qualcos'altro che esiste, non lo renderebbe più grande. Perché se non fosse di dimensione e fosse stato aggiunto, non potrebbe aumentare di dimensione. E così ne consegue subito che ciò che viene aggiunto non è nulla. Ma se quando viene sottratto, l'altra cosa non è più piccola, né è aumentata quando viene aggiunta, chiaramente la cosa che viene aggiunta o sottratta non è nulla.

Questa sembra essere la prima fonte per il paradosso, ma non la sua risoluzione, che ha dovuto attendere diversi millenni per lo sviluppo della nozione di una funzione di distanza, che consente di calcolare la lunghezza di un infinito infinito di punti.

Quindi, qualcuno ha provato a dare una risposta a questo paradosso prima che la teoria degli insiemi fosse introdotta?
#2
+11
Conifold
2015-04-03 01:34:52 UTC
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Aristotele ha dato la prima confutazione sistematica di Zenone, in particolare ha scritto in Fisica: " ... una linea non può essere composta da punti, essendo la linea continua e il punto indivisibile ". Secondo Aristotele, una linea può essere composta solo da linee più piccole, indefinitamente divisibili, e non da punti senza grandezza. Questa era la visione dominante fino alla "dissociazione" del continuum da parte di Cantor e Dedekind alla fine del XIX secolo. Sotto il nuovo paradigma il paradosso è stato risolto dalla teoria della misura di Lebesgue, che postulava che la lunghezza fosse solo additiva numerabile, quindi la somma delle lunghezze dei punti del continuum non è valida. Questo ha confermato il punto di vista di Aristotele: in termini di grandezza il continuum non può essere assemblato da punti.

L'idea che il continuum sia un "insieme di punti" porta a una serie di problemi concettuali, questo è uno di loro. Altri includono la sua buona ordinabilità, che mette a dura prova la credulità e implica l'esistenza di insiemi non misurabili di Lebesgue, e l'indecidibilità dell'ipotesi del continuum. Zermelo, Lebesgue e altri si sono impegnati molto per conciliare l'intuizione del continuum con la teoria degli insiemi "aritmetica". Tuttavia, nonostante le obiezioni degli intuizionisti come Hermann Weyl, alla fine i benefici dell'analisi superavano di gran lunga i costi per la maggior parte dei professionisti. Le opinioni di Weyl riecheggiano quelle di Aristotele: "L'idea che un insieme sia un" raduno "riunito da infiniti singoli atti arbitrari di selezione, assemblati e poi esaminati nel loro insieme dalla coscienza, è priva di senso; L '"inesauribilità" è essenziale per l'infinito ... I punti esatti del tempo o dello spazio non sono gli elementi atomici ultimi e sottostanti della durata o dell'estensione che ci viene data nell'esperienza. "

C'è una splendida discussione su questo argomento nel cap. 3 di Weyl's * The Open World *. Non sono d'accordo con la tua affermazione secondo cui i benefici superano i costi; questo era il pregiudizio comune a cui alla fine Weyl si era avvicinato, ma l '* analisi costruttiva * di Bishop fu accolta proprio perché mostrava come l'analisi moderna potesse essere condotta da questo punto di vista.
Volevo solo dire che la grande maggioranza degli analisti preferì il continuum di Cantor-Dedekind rispetto alle alternative. La ragione più comune citata era che le alternative, incluso il costruttivismo, imponevano troppe restrizioni "scomode" su ciò che può essere fatto in analisi.
Inoltre, ho letto che un buon ordinamento dei reali non può essere esibito (in un saggio di Thurston) - ci sono alcuni interessanti thread Mathoverflow correlati (ad esempio [questo] (http://mathoverflow.net/questions/20882/ applicazione-non-intuitiva-dell'assioma-di-scelta)). Quindi il lettore può decidere da solo fino a che punto credere negli odierni "fondamenti della matematica".
Lo stesso vale per insiemi non misurabili di Lebesgue, basi di Hamel, funzioni additive non lineari, operatori lineari illimitati ovunque definiti, ecc., Nessuno di questi può essere esibito. Questo è un prezzo da pagare per cose come ogni campo ha una chiusura algebrica, ogni ideale è contenuto in un massimo, ogni funzionale lineare limitato si estende all'intero spazio, ecc. Questi sono assiomi di compromessi di scelta. Ma c'è un modo per mantenere il continuum aritmetico e la teoria della misura di Lebesgue (con tutti gli insiemi misurabili secondo Lebesgue!) Scartando l'assioma della scelta http://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
#3
+4
Robert Israel
2015-04-02 20:55:55 UTC
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Potresti guardare la discussione di Galileo sull'infinito in "Discorsi e dimostrazioni matematiche relative a due nuove scienze": ad es. cerca il paradosso di Galileo ".

Questo non è lontano da una risposta solo link.
Non credo che questo risolva il problema della domanda. Come ho notato in un commento alla domanda, la domanda è teorica della misura, non teorica dell'insieme.
#4
+2
Gerald Edgar
2015-04-02 21:17:05 UTC
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Vedi il libro discusso in questo post.
Amir Alexander, Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World

In Nel XVII secolo ci fu una disputa sul fatto che una regione piana fosse costituita da una famiglia infinita di segmenti di linea parallela.

Argomento contrario:

Questi segmenti di linea hanno larghezza zero? Allora l'intera regione avrebbe area zero. Hanno larghezza positiva? Allora ce ne possono essere solo finitamente molti.

L'intero libro è interessante.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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