Zeno (intorno al 500 a.C.) ha sollevato questo paradosso per argomentare contro la nozione di "pluralità", sostenendo che una credenza l'esistenza di molte cose piuttosto che di una sola porta a conclusioni assurde: Se ci sono molte cose, devono essere piccole e grandi; così piccolo da non avere dimensioni, ma così grande da essere illimitato.

Vedi la sezione 2.2 di I paradossi di Zeno nella Stanford Encyclopedia of Philosophy. La citazione seguente è tratta da una discussione del libro di Zenone sui paradossi di Simplicius (che scriveva mille anni dopo Zenone apparentemente aveva ancora il suo book, che ora è andato perduto):

Se una cosa non ha grandezza o massa o massa, non esisterebbe. Perché se fosse aggiunto a qualcos'altro che esiste, non lo renderebbe più grande. Perché se non fosse di dimensione e fosse stato aggiunto, non potrebbe aumentare di dimensione. E così ne consegue subito che ciò che viene aggiunto non è nulla. Ma se quando viene sottratto, l'altra cosa non è più piccola, né è aumentata quando viene aggiunta, chiaramente la cosa che viene aggiunta o sottratta non è nulla.

Questa sembra essere la prima fonte per il paradosso, ma non la sua risoluzione, che ha dovuto attendere diversi millenni per lo sviluppo della nozione di una funzione di distanza, che consente di calcolare la lunghezza di un infinito infinito di punti.

Aristotele ha dato la prima confutazione sistematica di Zenone, in particolare ha scritto in Fisica: " ... una linea non può essere composta da punti, essendo la linea continua e il punto indivisibile ". Secondo Aristotele, una linea può essere composta solo da linee più piccole, indefinitamente divisibili, e non da punti senza grandezza. Questa era la visione dominante fino alla "dissociazione" del continuum da parte di Cantor e Dedekind alla fine del XIX secolo. Sotto il nuovo paradigma il paradosso è stato risolto dalla teoria della misura di Lebesgue, che postulava che la lunghezza fosse solo additiva numerabile, quindi la somma delle lunghezze dei punti del continuum non è valida. Questo ha confermato il punto di vista di Aristotele: in termini di grandezza il continuum non può essere assemblato da punti.

L'idea che il continuum sia un "insieme di punti" porta a una serie di problemi concettuali, questo è uno di loro. Altri includono la sua buona ordinabilità, che mette a dura prova la credulità e implica l'esistenza di insiemi non misurabili di Lebesgue, e l'indecidibilità dell'ipotesi del continuum. Zermelo, Lebesgue e altri si sono impegnati molto per conciliare l'intuizione del continuum con la teoria degli insiemi "aritmetica". Tuttavia, nonostante le obiezioni degli intuizionisti come Hermann Weyl, alla fine i benefici dell'analisi superavano di gran lunga i costi per la maggior parte dei professionisti. Le opinioni di Weyl riecheggiano quelle di Aristotele: "L'idea che un insieme sia un" raduno "riunito da infiniti singoli atti arbitrari di selezione, assemblati e poi esaminati nel loro insieme dalla coscienza, è priva di senso; L '"inesauribilità" è essenziale per l'infinito ... I punti esatti del tempo o dello spazio non sono gli elementi atomici ultimi e sottostanti della durata o dell'estensione che ci viene data nell'esperienza. "

Potresti guardare la discussione di Galileo sull'infinito in "Discorsi e dimostrazioni matematiche relative a due nuove scienze": ad es. cerca il paradosso di Galileo ".

Vedi il libro discusso in questo post.
Amir Alexander, Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World

In Nel XVII secolo ci fu una disputa sul fatto che una regione piana fosse costituita da una famiglia infinita di segmenti di linea parallela.

Argomento contrario:

Questi segmenti di linea hanno larghezza zero? Allora l'intera regione avrebbe area zero. Hanno larghezza positiva? Allora ce ne possono essere solo finitamente molti.

L'intero libro è interessante.