Domanda:
Madhava e $ \ pi $
George Law
2016-07-15 14:45:52 UTC
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Recentemente ho appreso che Madhava del Kerala ( c .1340– c .1425) è stata la prima a scoprire quanto segue formula per $ \ pi $: $$ \ frac {\ pi} 4 \ = \ 1 - \ frac13 + \ frac15 - \ frac17 + \ frac19 - \ frac1 {11} + \ cdots $$ La formula è stata riscoperta da James Gregory (1671) e Gottfried Leibniz (1673) e prende il nome da entrambi. Ma Madhava ha scoperto non una ma due formule per $ \ pi $, le seguenti convergono molto più rapidamente di quella sopra: $$ \ pi \ = \ \ sqrt {12} \ left (1 - \ frac1 {3 \ cdot3} + \ frac1 {5 \ cdot3 ^ 2} - \ frac1 {7 \ cdot3 ^ 3} + \ cdots \ right) $$ In effetti ora sappiamo che $$ \ tan ^ {- 1} \ theta \ = \ \ theta - \ frac {\ theta ^ 3} 3 + \ frac {\ theta ^ 5} 5 - \ frac {\ theta ^ 7} 7 + \ cdots $$ e la prima e la seconda formula possono essere ottenute mettendo $ \ theta = 1 $ e $ \ theta = \ frac1 {\ sqrt3} $ rispettivamente nell'espansione della serie Maclaurin di $ \ arctan \ theta $.

Quello che vorrei sapere è come Madhava ha scoperto le sue formule per $ \ pi $ senza sapere nulla della serie Maclaurin. È sicuramente inconcepibile che conoscesse tanto calcolo quanto Newton o Leibniz, i due uomini accreditati dell'invenzione del calcolo come strumento matematico due secoli e mezzo dopo la sua morte. Allora cosa lo ha ispirato alle sue scoperte?

Né Gregory "conosceva il calcolo quanto Newton o Leibniz" ... Lo pubblicò nel suo [Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura] (https://en.wikipedia.org/wiki/James_Gregory_ (matematico) #Vera_Circuli_et_Hyperbolae_Quadratura) del 1667.
Puoi vedere Enrique González-Velasco, [Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History] (https://books.google.it/books?id=0sTd4qJgOmsC&pg=PA212) (2011), ** Cap.4.3 THE EXPANSION OF FUNZIONI **, pagina 212 in poi
La scuola indiana del Kerala ha sviluppato una tecnica iterativa per trovare serie di potenze trigonometriche per calcoli astronomici in modelli tolemaici. Il libro di Nilakantha del 1545 attribuisce la scoperta a Madhava (1349-1425). Per circa due secoli il Kerala ha conservato la tecnica, ma senza svilupparla o trasmetterla, non ha né inventato il calcolo né influenzato qualcuno che potesse. Vedi http://hsm.stackexchange.com/questions/2495/what-was-the-historical-context-of-the-development-of-taylor-series/2502#2502 per riferimenti e altro sulla storia della serie Taylor.
Gli antichi indiani non conoscevano i numeri irrazionali. Senza conoscere il lavoro di Madheva, sospetto che abbia effettivamente inventato un algoritmo - usando numeri naturali - per determinare la circonferenza del cerchio, e questo algoritmo era equivalente alla formula dichiarata nel post. Ma dubito, come potrebbe essere considerata come una $ \ pi $ -formula - provare la corrispondenza tra la formula e il suo algoritmo è un lavoro più grande che provare la formula stessa.
Due risposte:
#1
+7
Nick
2016-07-15 22:32:41 UTC
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Secondo questa pagina:

Sebbene quasi tutto il lavoro originale di Madhava sia andato perduto, nel lavoro dei successivi matematici del Kerala si fa riferimento a lui come fonte di diverse espansioni di serie infinite (comprese le funzioni seno, coseno, tangente e arcotangente e il valore di π), che rappresentano i primi passi dai tradizionali processi finiti dell'algebra alle considerazioni sull'infinito, con le sue implicazioni per lo sviluppo futuro del calcolo e della matematica analisi.

A differenza della maggior parte delle culture precedenti, che erano piuttosto nervose riguardo al concetto di infinito, Madhava era più che felice di giocare con l'infinito, in particolare le serie infinite. Ha mostrato come, sebbene uno possa essere approssimato aggiungendo la metà più un quarto più un ottavo più un sedicesimo, ecc. (Come avevano saputo anche gli antichi egizi e greci), il totale esatto di uno può essere ottenuto solo sommando all'infinito molte frazioni.

Quindi, sembra che lei si sbagli nel supporre che Madhava mancasse di conoscenza di quella che ora chiamiamo la serie Maclaurin per le funzioni trigonometriche. La pagina di wikipedia sulla serie Madhava fornisce dettagli sull'interessante derivazione di Madhava delle espansioni in serie per le funzioni seno, coseno e arcotangente, nonché le due formule per $ \ pi $ che hai notato. Viene fornito un account nelle "parole proprie" di Madhava insieme a una rappresentazione in notazione moderna.

La pagina per $ \ frac {\ pi} {4} = 1 - \ frac13 + \ frac15 - \ dots $ rileva inoltre che questa espansione è stata chiamata più recentemente la serie Madhava-Leibniz.

#2
+6
Gerald Edgar
2016-07-15 18:49:04 UTC
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Ranjan Roy , MR 1081274 La scoperta della formula della serie per $ \ pi $ da Leibniz, Gregory e Nilakantha , Math. Mag. 63 (1990), n. 5, 291--306.

La serie a cui si fa riferimento è $$ \ frac {\ pi} 4 \ = \ 1 - \ frac13 + \ frac15 - \ frac17 + \ frac19 - \ frac1 {11} + \ cdots $$

Dice che la scoperta indiana (autore non sicuramente noto, a volte attribuito a Nilakantha) è stata il risultato di uno sforzo per rettificare il cerchio.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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