Domanda:
Esiste una distinzione formale tra infiniti potenziali e reali?
Wilhelm
2018-02-02 19:28:58 UTC
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Nella moderna teoria degli insiemi la differenza tra l'infinito effettivo e l'infinito potenziale spesso non è compresa o addirittura negata. Alcuni decenni fa, tuttavia, matematici come Hilbert o Poincaré, per non parlare di Cantor o Fraenkel, erano pienamente consapevoli della differenza. La mia domanda: esiste una definizione formale di infinito potenziale in contrasto con l'infinito effettivo e chi è stato il primo a fornirla?

Un quasi duplicato è: https://math.stackexchange.com/questions/1351529/can-we-formally-distinguish-between-actual-and-potential-infinities. Inoltre, mi sembra che la nozione abituale di "insieme computabile" (= "insieme ricorsivo") sia un buon candidato per la solita nozione moderna di "insieme potenzialmente infinito", in un vago senso filosofico.
È proprio questo punto di vista errato, espresso in una risposta votata a favore, che desidero svelare come tale. Evidentemente c'è un abisso tra il vaso. e agire. e in nessun modo identità matematica. Ad esempio, è impossibile definire un numero reale con una sequenza di cifre potenzialmente infinita.
Grazie per il chiarimento; per chiarire a sua volta: non intendevo implicare alcuna valutazione del contenuto del thread che ho linkato. Intendevo semplicemente aggiungere contesto e aumentare la connettività di SE.
L'infinito "effettivo" è più forte del "potenziale" e in ZF l'assioma dell'infinito afferma l'esistenza di un insieme infinito. L'analisi, tuttavia, funziona bene usando solo elementi finiti "arbitrariamente grandi" (o piccoli) che sono equivalenti all'infinito potenziale ma riescono a evitare anche la sua menzione. Forse una distinzione formale non è realmente necessaria.
Si ritiene generalmente che le assiomatizzazioni intuizioniste / costruttiviste della matematica esprimano l'infinito potenziale, mentre quelle (ora) classiche esprimono l'infinito effettivo. Pertanto, non puoi avere una distinzione formale all'interno della "teoria degli insiemi moderna" (ZFC, presumo), devi modificare formalmente alcuni dei suoi assiomi e persino la struttura logica sottostante.
@Conifold: Penso che un linguaggio sviluppato più lontano possa definirne uno più primitivo. Il linguaggio di ZFC è persino in grado di rifiutare del tutto l'assioma dell'infinito. Inoltre ZFC non definisce realmente l'infinito effettivo. Almeno l'assioma dell'infinito non produce aleph_0.
@sand1: In ZFC l'assioma dell'infinito afferma il potenziale infinito. Interpretarlo come infinito effettivo è ingiustificato, sebbene possa essere sostenuto con l'assioma dell'estensionalità. Sono completamente d'accordo con te e Hilbert che per l'analisi del potenziale infinito è del tutto sufficiente. Sembra che Zermelo e Fraenkel si siano sbagliati: "Coloro che sono seriamente intenzionati a rifiutare l'attuale infinito in matematica dovrebbero ... fare a meno di tutta l'analisi moderna" (Zermelo). "Se l'attacco all'infinito avrà successo ... rimarranno solo i resti della matematica" (Fraenkel).
Se vuoi essere tecnico al riguardo, non esiste l'infinito nella matematica moderna. Una collezione è chiamata infinita se può essere messa in biiezione con un sottoinsieme rigoroso di se stessa, ma "infinito" è davvero meglio pensato come un modo in cui le persone interpretano quella proprietà piuttosto che qualcosa che viene effettivamente definito.
@Stella Biderman: C'è un insieme infinito dato dall'assioma dell'infinito. L'unica domanda è come distinguere il potenziale infinito richiesto in analisi dall'effettivo infinito della teoria degli insiemi. Questa è una questione di interpretazione, non il fatto che la matematica sia fortemente basata sull'infinito.
@Wilhelm L'assioma dell'infinito afferma che esiste un insieme che è in biiezione con un sottoinsieme rigoroso di se stesso.
@Stella Biderman: L'assioma dell'infinito non dice nulla sulle funzioni biiettive. Vedi ad esempio p. 45 di https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
@Wilhelm Immagino che dipenda da come desideri scriverlo. Il modo in cui avrei corretto implicherebbe funzioni biiettive.
@Stella Biderman: Intendevo la formulazione originale di Zermelo e il solito modo in cui viene affermato l'assioma. Ma sarei interessato al tuo approccio.
Mi ci sono voluti 10 secondi per leggere la voce di Wikipedia per essere in grado di riassumere questa controversia come "un sacco di seghe in corso". Nego categoricamente che questo argomento abbia un valore funzionale all'interno della matematica.
@Wilhelm Non lo so, non è così che abbiamo fatto nei miei corsi. Non posso parlare a ciò che è comune al di là dei gruppi che conosco.
@Conifold Infinity is banana, leggi qui, per favore (anche se il problema non è ancora stato completato, certo. Https://groups.google.com/forum/#!topic/sci.math/Kw14wMHdwB8
@wilhelm Mi dispiace signore ma ho avuto problemi a capire il tuo primo commento. Stai affermando che "è impossibile definire un numero reale con una sequenza potenzialmente infinita di cifre" o stai affermando che questa è una visione sbagliata?
Quattro risposte:
#1
+3
Mauro ALLEGRANZA
2018-02-02 20:38:48 UTC
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Non "formale" ma abbastanza preciso: Aristotele e apeiron .

Vedi Meta , Libro IX ($ \ Theta $), 1048b10:

Si dice che l'infinito e il vuoto e tutte le cose simili esistano potenzialmente ed effettivamente in un senso diverso da quello in cui molti altri si dice che le cose esistano, ad es ciò che vede o cammina o è visto. [...] Ma l'infinito non esiste potenzialmente nel senso che avrà mai effettivamente un'esistenza separata; la sua separazione è solo nella conoscenza. Il fatto che la divisione non cessi mai di essere possibile dà come risultato che questa realtà esiste potenzialmente, ma non che esiste separatamente.

E Phys , Libro III, 4, 206b17:

Inoltre, quindi, esiste anche potenzialmente un infinito, cioè ciò che abbiamo descritto come essere in un certo senso uguale all'infinito rispetto alla divisione. Perché sarà sempre possibile prendere qualcosa ab extra . Tuttavia la somma delle parti prese non supererà ogni grandezza determinata, proprio come nella direzione della divisione ogni grandezza determinata è superata e ci sarà sempre una parte più piccola.

E 207a32:

È ragionevole che non si debba ritenere un infinito rispetto all'addizione tale da superare ogni grandezza.

Grazie, ma molti "matematici moderni" non lo capiranno, o lo squalificheranno come puramente filosofico. Purtroppo la maggior parte di loro ha perso la capacità di comprendere testi diversi dal testo formalizzato.
@Wilhelm Potete fornire una base per questa affermazione?
"On the Infinite" di Hilbert è un altro classico che non posso resistere di menzionare qui. Termina dicendo che "la logica da sola non è sufficiente" e spiega la sua posizione kantiana.
@ José Carlos Santos: Con piacere, più di tanti. Ma lo spazio è limitato. Vedi ad esempio la risposta votata a favore in https://math.stackexchange.com/questions/1351529/can-we-formally-distinguish-between-actual-and-potential-infinities: [Loro] sono matematicamente indistinguibili. O P.L. Clark in https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf, p. 11. OrDan Christensen: Non c'è bisogno di distinguere formalmente l'infinito reale e potenziale. Non viene mai fuori nella matematica del mondo reale. https://groups.google.com/forum/#!topic/sci.logic/-hsEMkwt6FM%5B1-25%5D
@Wilhelm Molti matematici leggono e comprendono Aristotele. Sembra che ci sia una persona o un gruppo di persone con cui desideri combattere per ottenere la risposta a questa domanda. Nessuno dei link che hai fornito mostra che i matematici non possono capire artistotle. Mostrano che quei matematici pensano che non ci sia bisogno di un matematico per distinguere tra i due. Queste sono cose molto diverse.
@Sella Biderman: I matematici che comprendono Aristotele, Cantor, Fraenkel, Zermelo, Hilbert, Nelson, Feferman, Robinson, Jech, Schechter, ecc. Non possono pensare che non sia necessario distinguere gli infiniti. "Nonostante la differenza significativa tra le nozioni di infinito potenziale e effettivo, dove la prima è una grandezza finita variabile, crescente al di sopra di ogni limite, la seconda una quantità costante fissa in se stessa ma al di là di tutte le grandezze finite, accade deplorevolmente spesso che il uno è confuso con l'altro ". (Cantor) ctd.
Ad esempio, una funzione non potrebbe mai mostrare la numerabilità di un insieme o la sua non numerabilità a meno che il dominio non sia finito o completo. Semplice esempio: l'argomento diagonale fallisce nell'infinito potenziale perché non si raggiunge mai la completezza richiesta per una decisione.
@Wilhelm cosa intendi con l'argomento diagonale "in potenziale infinito"? Intendi il controfattuale "se i numeri naturali fossero potenzialmente infiniti, l'argomento diagonale non funzionerebbe"? Intendi "se ti è consentito eseguire solo un numero potenzialmente infinito di passaggi, l'argomento diagonale fallisce"? Intendi qualcos'altro?
@Stella Biderman: L'argomento diagonale dimostra che l'insieme completo N può assorbire solo un sottoinsieme di R. Perché dovremmo crederlo se non esiste un insieme completo N?
#2
+2
Conifold
2018-02-03 15:34:02 UTC
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La distinzione tra infiniti potenziali e reali è stata la soluzione intelligente di Aristotele ai paradossi di Zenone. L'idea era che mentre possiamo dividere mentalmente i segmenti a metà, attualizzare indefinitamente la sequenza risultante, che è ciò che fa Zenone nella dicotomia, è in errore. Da Metaphysics VIII.8:

" Sebbene ci siano infinitamente molte metà in un continuum, queste sono potenziali e non effettive ... Quindi la risposta che dobbiamo dare alla domanda se è possibile attraversare infinite parti ... è che c'è un senso in cui è possibile, e che non lo è. Se esistono effettivamente, è impossibile; ma se esistono potenzialmente, è possibile. "

Tuttavia, dopo l'invenzione del calcolo sono diventate disponibili risoluzioni alternative, e il lavoro di Cantor ha convinto molti matematici che altri" paradossi dell'infinito "potevano essere trattati anche, vedere Perché Cantor (e altri) hanno usato $ \ mathfrak {c} $ per il continuum?. Inoltre, Cantor ha sviluppato una teoria degli infiniti attualizzati che è stata vista come fruttuosa (" nessuno ci espellerà dal Paradiso che Cantor ha creato " di Hilbert è spesso citato). L'infinito effettivo è incorporato nelle assiomatizzazioni standard della teoria degli insiemi, quindi non può essere distinto dall'infinito potenziale al loro interno . Per fare la distinzione occorrono assiomatizzazioni alternative della matematica. Ciò sottolinea l'idea di Hilbert degli assiomi come definizioni implicite di termini.

Le concezioni sottostanti sono state sviluppate da intuizionisti, principalmente Brouwer e Weyl, vedere Brouwer e Weyl: The Phenomenology and Mathematics of the Intuitive Continuum di Atten et al. Poincaré, Borel, Baire, Lebesgue e altri i cosiddetti proto-intuizionisti hanno anticipato queste idee prima, vedi Poincaré ha detto che la teoria degli insiemi è una malattia? (non esattamente). Ecco la descrizione informale di Weyl della sua concezione e di Brouwer in Philosophy of Mathematics and Natural Science (1949):

" La nozione di sequenza cambia il suo significato: non significa più una sequenza determinata da una legge o da un'altra, ma piuttosto creata passo dopo passo da liberi atti di scelta, e quindi rimane in statu nascendi. Questa sequenza selettiva del 'divenire' rappresenta il continuum, o la variabile, mentre la sequenza determinata all'infinito da un legge rappresenta il numero reale individuale che cade nel continuum. Il continuum non appare più, per usare il linguaggio di Leibniz, come un aggregato di elementi fissi ma come un mezzo di libero "divenire" ".

In Das Kontinuum (1918) Weyl intraprese una ricostruzione intuizionistica dell'analisi classica basata su questi infiniti in divenire. La ricostruzione di Weyl fu la prima di molte. Nel 1930 Heyting formalizzò la logica intuizionista, che consentì di dare piena espressione formale ai potenziali infiniti di Brouwer e Weyl. Si è scoperto che non è sufficiente alterare gli assiomi della teoria degli insiemi (in particolare, gli assiomi dell'infinito e della scelta devono essere abbandonati), ma anche abbandonare la legge del mezzo escluso, che consente il ragionamento per contraddizione. Infatti, se l'infinito non viene mai "completato" certe affermazioni su di esso non possono avere valori di verità in un modo o nell'altro. Sviluppi più recenti in questa direzione, come l ' analisi costruttiva di Bishop, di solito vanno sotto il nome di costruttivismo (per evitare associazioni kantiane), vedi anche teoria costruttiva degli insiemi. Mentre una posizione di minoranza tra i matematici il costruttivismo si è rivelata una presenza duratura.

Grazie, ma ho bisogno di una dichiarazione * formale * per convincere i teorici degli insiemi moderni. A proposito, l'attuale infinito non è incorporato negli assiomi di Peano. Allora quale parte dell'assioma di Zermelo "esiste {} e con $ a $ esiste {$ a $}" si ottiene l'infinito finito? Hilbert rimase incantato dall'attuale infinito ma alla fine del saggio lodando il paradiso di Cantor riassunse, un po 'raffreddandosi: "L'infinito non è realizzato da nessuna parte; non è presente in natura né ammissibile come fondamento del nostro pensiero razionale". Per la mia persona preferisco il pensiero razionale.
@Wilhelm Ciò che ha convinto la maggior parte dei matematici è stata la ricostruzione della matematica basata sulla teoria degli insiemi con gli infiniti effettivi di Cantor. Le ricostruzioni costruttiviste sono troppo restrittive per essere ampiamente allettanti, sebbene [Rodin] (https://arxiv.org/abs/1210.1478) abbia un nuovo approccio interessante. L'infinito finito è dato da ["esiste un insieme induttivo"] (https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity) o qualcosa di simile. Gli assiomi di Peano combinati con la logica intuizionista presumibilmente esprimono solo il potenziale infinito.
"Esiste un insieme induttivo" da solo non rende ancora finito l'infinito. Potrebbe anche essere stato detto da Peano. Ma tutto ciò sarebbe molto più facile da discutere se avessimo una definizione formale di ciò che possiamo esprimere colloquialmente come: Un insieme $ S $ è piatto. inf. se "ogni sottoinsieme ha un proprio superset in $ S $". Un insieme $ S $ è atto. inf. se "non tutti i sottoinsiemi hanno un sovrinsieme appropriato in $ S $".
@Wilhelm L'aritmetica di Peano non consente di parlare di insiemi, ma finché la logica è classica il suo infinito numerabile è presumibilmente effettivo. La tua proposta si chiama [Dedekind infinite] (https://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind-infinite_set), si discosta dalla concezione induttiva nei modelli di ZF.
#3
  0
user6999
2018-02-05 07:59:01 UTC
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Una funzione continua può essere caratterizzata come una funzione in cui l'output può essere determinato con una precisione finita utilizzando solo informazioni finite sull'input. (Per informazioni finite, intendo accuratezza. Stupida lingua inglese!)

Se un infinito è "potenziale" o "effettivo" dipende esattamente da cosa ne fai. Un numero reale è un oggetto infinito; ha un numero infinito di cifre. Alcune operazioni sui numeri reali sono fattibili, mentre altre no. Ad esempio, è chiaramente non possibile decidere se un numero reale è uguale a $ 0 $, perché ciò richiederebbe la conoscenza di ogni cifra del numero. è possibile moltiplicare un numero reale per $ 2 $, perché questo può essere determinato in modo accurato $ \ epsilon $ leggendo solo un numero finito di cifre dell'input.

Indica se un'operazione è fattibile può essere catturato dalla computabilità o dalla continuità. La topologia e la teoria della computabilità definiscono le nozioni di funzione continua e funzione computabile. Se una funzione è discontinua o non numerabile, hai un infinito effettivo. Inoltre, la continuità e la calcolabilità sono abbastanza simili nella pratica.

#4
  0
Wilhelm
2018-02-05 13:05:20 UTC
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Questa non è una risposta ma è troppo lunga per un commento. Mostra la direzione in cui cercare la risposta.

Una raccolta o classe $ C $ è potenzialmente infinita se e solo se per ogni sottoinsieme $ A $ c'è un sottoinsieme $ B $ tale che $ A $ è un sottoinsieme corretto di $ B $. Altrimenti $ C $ è finito o effettivamente infinito.

$ C $ è potenzialmente infinito $ \ Leftrightarrow \ forall A \ subseteq C $ $ \ esiste B \ subseteq C: A \ subset B $.

Nota: la raccolta completa o l'insieme di tutti i numeri naturali non esiste nel potenziale infinito. L'intervallo reale completo $ [0, 1] $ non esiste nell'infinito potenziale (ad esempio, perché la raccolta completa delle frazioni unitarie non esiste).

C'è qualcosa di sbagliato nella definizione: se A può essere C allora nessun insieme lo soddisfa, C non è un sottoinsieme appropriato di nulla, se A non può essere C allora ogni insieme lo soddisfa, si può sempre prendere B = C.
@Conifold: È complicato. Un sottoinsieme $ A $ o $ B $ non può essere la classe potenzialmente infinita $ C $ perché quest'ultima non esiste come entità completata (= insieme). Solo se $ C $ è finito o effettivamente infinito, allora $ A = C $ è possibile e il criterio fornisce la risposta non "potenzialmente infinita", cioè finita o effettivamente infinita.
È circolare. Stai usando la distinzione che stai cercando di definire per fare la definizione.
@Conifold: Non sto cercando di definire il potenziale infinito. Sto dando un criterio * formale *. Ovviamente lo do in modo che risulti la distinzione che di solito viene descritta colloquialmente.
Questo è positivo, ma finora non hai definito nulla e non hai fornito alcun criterio formale (o alcuno). Per un criterio non dovrebbe essere necessario consultare l'utente su ciò che costituisce o non costituisce un sottoinsieme "completato" prima che sia "formalmente" spiegato. Nella migliore delle ipotesi, hai una vaga intuizione. Puoi provare a fare qualcosa in modo induttivo, ma non vedo un modo ovvio per rilassare il tuo cerchio. Oppure puoi provare a incorporarlo in un elenco di assiomi che descrivono implicitamente le relazioni tra finito, potenziale e infinito effettivo. Ma avrai bisogno di molti più assiomi per renderlo fattibile.
@Conifold: Non c'è cerchio né intuizione. Basta applicare qualsiasi set che ti piace come $ C $. Se santifica il criterio, allora è potenzialmente infinito. Altrimenti è finito o effettivamente infinito. Provalo.
Cerchiamo di [continuare questa discussione in chat] (http://chat.stackexchange.com/rooms/72753/discussion-between-conifold-and-wilhelm).


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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