Il problema può essere visto come parte di tentativi più generali di estendere il dominio delle operazioni definito inizialmente solo per i naturali (numeri interi o razionali). Un esempio naturale prominente sarebbe prendere una potenza di $ n $ -esima (un altro sarebbe i coefficienti binomiali e le serie newtoniane correlate). Il problema, quindi, non è isolato, ma piuttosto parte di un progetto generale e naturale di quel tempo.
Un'applicazione che ha motivato direttamente l'invenzione della funzione Gamma è stata Goldbach che cercava di trovare qualcosa come un forma chiusa per $ \ sum_ {k = 1} ^ nk! $.
Questa risposta si basa sulle informazioni fornite nella Sezione 1 di:
Gronau, D. Perché la funzione gamma è così com'è. Insegnamento della matematica and Computer Science, 1, 43-53 (2003).
Il riferimento qui menzionato per supportare questo punto di vista nello specifico è:
J. Christoph Scriba, "Von Pascals Dreieck zu Eulers Gamma-Funktion, Zur Entwicklung der Methodik der Interpolation", in: Mathematical Perspectives, Essays on Mathematics and Its Historical Development, (Joseph W. D auben, ed.), Academic Press, New York , 1981
Non ho potuto leggere questo riferimento, ma anche solo il titolo (la mia traduzione) "Dal triangolo di Pascal alla funzione Gamma di Eulero, sullo sviluppo del metodo di interpolazione". lo supporta.
La domanda MO Chi ha inventato la funzione gamma? contiene informazioni correlate.