Per quanto ho capito, la funzione Gamma è stata sviluppata come un modo per calcolare "il" fattoriale di un numero non intero. Perché questo problema interessava i matematici del XVIII secolo? Era solo un rompicapo o avevano in mente qualche applicazione specifica?
Il problema può essere visto come parte di tentativi più generali di estendere il dominio delle operazioni definito inizialmente solo per i naturali (numeri interi o razionali). Un esempio naturale prominente sarebbe prendere una potenza di $ n $ -esima (un altro sarebbe i coefficienti binomiali e le serie newtoniane correlate). Il problema, quindi, non è isolato, ma piuttosto parte di un progetto generale e naturale di quel tempo.
Un'applicazione che ha motivato direttamente l'invenzione della funzione Gamma è stata Goldbach che cercava di trovare qualcosa come un forma chiusa per $ \ sum_ {k = 1} ^ nk! $.
Questa risposta si basa sulle informazioni fornite nella Sezione 1 di:
Gronau, D. Perché la funzione gamma è così com'è. Insegnamento della matematica and Computer Science, 1, 43-53 (2003).
Il riferimento qui menzionato per supportare questo punto di vista nello specifico è:
J. Christoph Scriba, "Von Pascals Dreieck zu Eulers Gamma-Funktion, Zur Entwicklung der Methodik der Interpolation", in: Mathematical Perspectives, Essays on Mathematics and Its Historical Development, (Joseph W. D auben, ed.), Academic Press, New York , 1981
Non ho potuto leggere questo riferimento, ma anche solo il titolo (la mia traduzione) "Dal triangolo di Pascal alla funzione Gamma di Eulero, sullo sviluppo del metodo di interpolazione". lo supporta.
La domanda MO Chi ha inventato la funzione gamma? contiene informazioni correlate.
La motivazione di Eulero
R. Hilfer a pag. 18 di " Triplice introduzione alle derivate frazionarie" afferma: "Le derivate di ordine non intero (frazionario) hanno motivato Eulero a introdurre la funzione Gamma ...." Eulero introdotto nello stesso riferimento dato da Hilfer essenzialmente
$$ \ displaystyle \ frac {d ^ {\ beta}} {dx ^ \ beta} \ frac {x ^ {\ alpha}} {\ alpha!} = \ frac {x ^ {\ alpha- \ beta}} {(\ alpha- \ beta)!} $$
MSE-Q&A correlato.
Le ragioni sono le stesse dell'estensione della formula binomiale a esponenti non positivi (binomiale di Newton). Coinvolge coefficienti binomiali generalizzati che non possono essere espressi in fattoriali. La formula binomiale con esponente non intero nasce, ad esempio, nel calcolo della lunghezza dell'arco di un'ellisse e in altri problemi naturali.
La prima parte dell'indagine di J. Lagarias, costante di Eulero, in Bull AMS, 50 (2013) 527-628 (disponibile gratuitamente online) contiene un'analisi dettagliata del lavoro di Eulero, e in particolare affronta il bisogno di interpolare varie funzioni di interi con funzioni analitiche.
L'interpolazione è diventata una cosa importante dopo l'algebra di Wallis, dove ha prima interpolato varie sequenze solo per il gusto di farlo. Poiché le "prove" di Wallis erano poco più di una sequenza di ipotesi plausibili, Goldbach ed Euler usarono il lavoro di Wallis come una raccolta di problemi aperti.
Successivamente, Eulero utilizzerà gli stessi metodi per estendere funzioni come la funzione zeta a numeri negativi e potrebbe persino dedurre (congetturalmente) l'equazione funzionale di zeta (s) così come per la funzione L di Dirichlet per il carattere di Dirichlet $ (- 1 / p) $ con il conduttore 4.