Domanda:
Come e quando è stata riscoperta la dimostrazione di Bolzano del teorema di Bolzano-Weierstrass?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
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Sono sempre stato curioso di sapere come vengono riscoperte grandi idee dimenticate. Questa domanda: Esistono fonti scritte (del XIX secolo) che esprimono la convinzione che la proprietà del valore intermedio sia equivalente alla continuità? mi ha portato al seguente documento:

Schubring, Gert: " Bernard Bolzano - Non così sconosciuto ai suoi contemporanei come si crede comunemente?" Historia Mathematica , 20 (1): 45-53, 1993. (paywall di Elsevier , scusate non sono riuscito a trovare una versione liberata.)

che dice che "Herman Hankel è accreditato di essere stato il primo a portare Bolzano all'attenzione generale della comunità matematica nel 1871. " (e Schubring prosegue sostenendo che in effetti, l'opera di Bolzano era probabilmente nota alla cerchia di Crelle a Berlino intorno al 1825 prima di essere dimenticata.)

In che modo Hankel è arrivato al lavoro di Bolzano e ha riconosciuto che Bolzano aveva la priorità Weierstrass?

Una risposta:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
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Avviso equo: questa risposta non risponde completamente alla domanda, ma penso che possa rispondere alla domanda nel miglior modo possibile.

L'articolo che Hankel ha scritto (pubblicato nel 1971) che è generalmente accreditato di "riscoprire" il lavoro di Bolzano era un articolo nella sezione 1 Theil 90 (Gregorius - Grezin) di Allgemeine Encyclopädie der Wissenschaften und Künste, una delle più grandi enciclopedie mai scritte (che copre 167 volumi nonostante sia incompleto). Puoi leggere questa sezione liberamente qui su Google Libri. L'articolo di Hankel è su "Grenze" ("limiti").

Il paragrafo relativo a Bolzano si trova alle pagine 209-210, mentre si discute della storia dell'analisi. Fornirò una traduzione approssimativa in inglese moderno di questo paragrafo. Devo notare che non conosco quasi il tedesco, quindi la traduzione è un sacco di supposizioni e potrei sbagliarmi in alcuni punti. Chiunque conosca il tedesco dovrebbe sentirsi libero di annotare gli errori.

Ancora peggio è stato un altro contemporaneo rimasto allora e ora quasi del tutto sconosciuto tra i matematici: dobbiamo rivendicare la priorità del primo rigoroso sviluppo nel serie di analisi algebriche a favore dell'ottimo Bernhard Bolzano. Le nozioni di Bolzano sulla convergenza delle serie sono scritte abbastanza chiaramente e correttamente, le sue operazioni con serie infinite sono tutte rigorosamente provate, e nulla è sbagliato nello sviluppo di quelle affermazioni per argomenti reali, che suppone ovunque. Nella prefazione dà un'appropriata critica delle precedenti derivazioni del teorema binominale e quindi dell'ordinario uso illimitato delle serie infinite. Insomma, quest'opera non era solo un'arte francese, andava collocata sotto questo aspetto allo stesso livello di Cauchy, e affermava i suoi pensieri in modo piacevole. Ma Bolzano rimase sconosciuta e fu presto dimenticata; Cauchy fu il fortunato, quello elogiato come riformatore della scienza e i cui eleganti scritti trovarono in breve tempo una diffusione generale.

In questo paragrafo, Hankel fondamentalmente attribuisce a Bolzano lo sviluppo di gran parte delle basi dell'analisi indipendentemente da (e anni prima) Cauchy. Tuttavia, il lavoro di Bolzano rimase sconosciuto, mentre Cauchy, che era ben collegato nei circoli matematici francesi, trovò facile comunicare il suo lavoro. Hankel non fa menzione di dove o come ha trovato l'opera di Bolzano.

Qualche commento storico è d'obbligo qui. Il 1871 è un anno significativo; in particolare, è l'anno della guerra franco-prussiana, un periodo di forte orgoglio nazionale in Germania e generale avversione per tutto ciò che è francese. L'enciclopedia in cui Hankel stava scrivendo doveva essere una specie di enciclopedia "per e dal popolo tedesco". Hankel sicuramente non sarebbe stato felice di dover dare il merito dello sviluppo dell'analisi a Cauchy, un francese. Era molto meglio darlo a Bolzano. Certo, Bolzano non era il matematico tedesco ideale, avendo trascorso la maggior parte della sua carriera accademica in Austria, ed essendo tanto un filosofo e teologo quanto un matematico (e controverso in questo), ma parlava e scriveva in tedesco, e, cosa altrettanto importante, non era francese. E Bolzano ha fatto davvero (per la maggior parte) le cose che Hankel gli attribuiva. Per essere chiari, non sto accusando Hankel di alcun illecito sottolineando questo, ma solo dicendo che aveva un notevole interesse ad attribuire il più possibile a Bolzano.

Tuttavia, c'è qualcosa di problematico attribuendo lo sviluppo dei limiti in analisi a Bolzano su Cauchy, sebbene sia più filosofico che matematico. Bolzano probabilmente ebbe un'interpretazione molto diversa dei suoi teoremi rispetto ai lettori successivi. Infatti, in "The Mathematical Works of Bernard Bolzano", Steve Russ sostiene che Bolzano non avrebbe affatto pensato ai suoi teoremi in termini di limiti, che avrebbe associato agli infiniti che stava cercando di eliminare. Dalle pagine 146-147:

Tuttavia, il moderno riconoscimento del lavoro di Bolzano solleva un problema storico. Dall'articolo di Hankel del 1871 agli estratti di Bitkhoff (1973) i commentatori sono stati propensi a dare particolare credito a Bolzano per questioni che all'epoca egli vedeva sotto una luce molto diversa da questi critici successivi. Stiamo pensando qui al concetto aritmetico di limite e al concetto di convergenza di serie infinite che vengono comunemente adottati oggi. Questi concetti erano stati usati in qualche forma per molto tempo e, a giudicare da altri esempi nei suoi scritti, Bolzano non sarebbe stato troppo modesto per rivendicarli come nuovi e originali se li avesse considerati tali. Non lo fa. Indubbiamente aveva grande fiducia in queste definizioni; soddisfacevano i suoi requisiti concettuali, sapeva che sarebbero stati fruttuosi ed efficaci nello sviluppo dell'analisi, ma non afferma mai che siano suoi ...

Si presume comunemente che in seguito all'introduzione di quantità etichettate come ω, o Ω, possibilmente con pedici, sia delineato in BL §14 ff. una teoria dei limiti abbastanza standard. L'ironia è che Bolzano, insieme alla maggior parte dei suoi contemporanei, avrebbe associato dei limiti a processi infiniti (o quantità infinitamente piccole). E così, in questo momento, sarebbe stato inorridito di essere associato a una simile teoria. Osservazioni simili si applicano al suo lavoro sulla convergenza delle serie. Credeva di trattare la serie binomiale per esponenti negativi e razionali in modo puramente finito. Il modo in cui usa le sue quantità ω - quantità variabili che possono diventare più piccole di una data quantità, o che possono diventare piccole a nostro piacimento, faceva naturalmente appello a una gamma infinita di valori. Potremmo chiamarli "quantità arbitrariamente piccole". Rusnock suggerisce che un tale concetto di una variabile che può diventare piccola quanto desiderato era comune all'epoca. È una sorta di controparte di una quantità variabile fisica. Suggerisce che i ω di Bolzano potrebbero essere interpretati come intervalli di valori contenenti zero ...

Vale a dire che il giudizio di Hankel su Bolzano come scopritore indipendente del la rigorosa teoria dei limiti in analisi, sebbene corretta in termini di contenuto matematico , è sicuramente falsa se si prendono in considerazione gli aspetti filosofici del suo lavoro. Ma ovviamente anche se Hankel se ne rendesse conto, non aveva molto da guadagnare a sottolinearlo esplicitamente nel suo articolo. In ogni caso, né i metodi di Bolzano né i suoi teoremi erano meno rigorosi di quelli di Cauchy; solo la sua interpretazione delle definizioni e del contenuto dei teoremi era diversa.

In ogni caso, noterai che Hankel non ha menzionato specificamente Bolzano-Weierstrass, né il teorema del valore intermedio (che era l'obiettivo finale di Bolzano, verso il quale Bolzano-Weierstrass era solo un lemma). Non è terribilmente sorprendente. Mentre Hankel era probabilmente a conoscenza del risultato di Weierstrass (si conoscevano bene l'un l'altro, Hankel aveva lavorato con Weierstrass a Berlino nel 1861 prima del suo dottorato) era probabilmente troppo recente per apprezzarne il significato, specialmente nel contesto di questo tipo di pubblicazione. Non è nemmeno chiaro che Hankel avesse letto le parti del lavoro di Bolzano relative al teorema dei valori intermedi; le parti che egli cita nell'articolo sono altrove. Quindi non è stato proprio Hankel a stabilire qui la priorità di Bolzano.

Dopo la citazione originale di Hankel, alcuni matematici sono tornati e hanno letto le varie opere di Bolzano, reinterpretandole in un linguaggio più moderno. Otto Stolz in particolare è accreditato di aver riscoperto e ripubblicato molte delle sue opere matematiche nel 1881. Questo includeva l'articolo pertinente, Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , che precede Weierstrass e persino Cauchy, stabilendo la priorità di Bolzano per il teorema dei valori intermedi e il teorema di Bolzano-Weierstrass. Anche un certo numero di altri influenti matematici e filosofi tedeschi hanno letto le opere di Bolzano e sono stati trovati alcuni altri risultati matematici interessanti. La sua eredità è stata probabilmente cementata nelle varie note storiche nell'influente (almeno a Gottinga) Enzyklopädie der matematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, che menziona più volte il suo lavoro come molto più avanti dei suoi tempi.

Questo risponde alla domanda su Bolzano-Weierstrass, ma c'è ancora una domanda senza risposta, cioè come ha fatto Hankel a trovare Bolzano in primo luogo (che era una parte importante della tua domanda originale). Non conosco la risposta e, per quanto ne so, nessuno lo sa. Forse aveva un'idea che esisteva una scuola di filosofia analitica dell'Europa orientale che all'inizio del XIX secolo si occupava di questioni relative agli infiniti ed era insoddisfatta dell'approccio informale di Leibniz al calcolo. O forse, scrivendo l'articolo, è entrato in una conversazione con qualcuno (forse qualcuno che conosceva il lavoro di Bolzano del periodo degli anni 1820 menzionato nell'articolo che hai citato, o forse nemmeno un matematico) che gli ha suggerito di guardare in quello direzione. Hankel ha svolto una discreta quantità di studi sulla storia della matematica (sebbene i suoi lavori storici in genere contenessero errori notevoli), sottolineando anche l'importanza del lavoro di Hermann Grassmann nel 1867 due decenni dopo che Grassman aveva sostanzialmente interrotto facendo matematica, quindi aveva certamente una comprensione più ampia delle opere dei suoi predecessori rispetto al matematico medio del suo tempo. Come esattamente Hankel abbia trovato Bolzano è un'ipotesi, ma una volta che l'ha fatto, è abbastanza chiaro che non l'avrebbe semplicemente ignorato nel suo articolo, indipendentemente da ciò che Bolzano ha fatto / non ha pensato su come interpretare i suoi risultati. Hankel morì nel 1873, appena 2 anni dopo la pubblicazione dell'articolo, e per quanto ne so non commentò mai più il lavoro di Bolzano. Mentre si potrebbe essere in grado di seguire i movimenti di vari matematici dal 1817 al 1871 per cercare di capire come l'idea potrebbe essere stata trasmessa a Hankel (un compito apparentemente erculeo, anche se non tecnicamente impossibile), nella migliore delle ipotesi ci troveremmo con un'ipotesi, e la verità è molto probabilmente persa nella storia.



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