Domanda:
Qual è la differenza tra il calcolo di Newton e quello di Leibniz?
Sameer Shemna
2014-10-29 10:25:56 UTC
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Ci sono differenze tra lo studio del calcolo fatto da Newton e quello fatto da Leibniz? Se sì, menziona punto per punto.

Correlato su Math.SE: http://math.stackexchange.com/questions/521929/what-did-newton-and-leibniz-actually-discover, http://math.stackexchange.com/questions/745922/how- did-newton-and-leibniz-really-do-calculus, http://math.stackexchange.com/questions/306278/how-did-the-ancients-view-infinitesimals
Cinque risposte:
#1
+24
kaine
2014-10-29 20:56:40 UTC
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La notazione di Newton, la notazione di Leibniz e la notazione di Lagrange sono tutte in uso oggi in una certa misura lo sono rispettivamente:

$$ \ dot {f} = \ frac {df} {dt} = f '( t) $$$$ \ ddot {f} = \ frac {d ^ 2f} {dt ^ 2} = f '' (t) $$

Puoi trovare altri esempi di notazioni su Wikipedia.

Anche la notazione integrale standard ($ \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty f dt $) è stata sviluppata da Leibniz. Newton non aveva una notazione standard per l'integrazione.

Ho letto da "The Information" di James Gleick quanto segue: Secondo Babbage, che alla fine prese il Lucasian Professorship a Cambridge, tenuto da Newton, la notazione di Newton paralizzò la matematica sviluppo. Ha lavorato come studente universitario per istituire la notazione di Leibniz come viene utilizzata oggi a Cambridge, nonostante il disgusto che l'università aveva ancora a causa del conflitto Newton / Leibniz. Questa notazione è molto più utile di quella di Newton per la maggior parte dei casi. Tuttavia, implica che può essere trattato come una semplice frazione che non è corretta.

* Tuttavia, implica che può essere trattato come una semplice frazione che non è corretta. * Non vero. Per una buona discussione di questo, vedere Blaszczyk, Katz e Sherry, Ten Misconceptions from the History of Analysis and Their Debunking, http://arxiv.org/abs/1202.4153. Vedi anche http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis. Come spiegato nel documento di Blaszczyk, Leibniz fondamentalmente aveva perfettamente ragione, incluso ciò che in NSA viene ora chiamato la distinzione tra il quoziente dy / dx e il derivato, che è la parte standard di quel quoziente.
#2
+8
Mikhail Katz
2016-04-06 16:40:13 UTC
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Oltre al problema della notazione, Newton ha sperimentato una serie di approcci fondamentali. Uno dei primi riguardava gli infinitesimi, mentre in seguito se ne allontanava a causa della resistenza filosofica dei suoi contemporanei, spesso derivante da delicate considerazioni religiose strettamente legate alle liti interconfessionali. Anche Leibniz era a conoscenza delle liti, ma usò sistematicamente infinitesimi e differenziali nello sviluppo del calcolo, e per questo motivo ebbe più successo nell'attrarre seguaci e stimolare la ricerca - o quella che chiamava Ars Inveniendi .

#3
+7
José Hdz. Stgo.
2016-04-07 03:55:57 UTC
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Dovresti assolutamente dare un'occhiata al secondo capitolo di Huygens & Barrow di Arnold, Newton & Hooke . Il defunto Prof. Arnold riassunse qui la differenza tra l'approccio di Newton all'analisi matematica e quello di Leibniz come segue:

L'analisi di Newton era l'applicazione delle serie di potenze allo studio del movimento ... Per Leibniz, .. . L'analisi era uno studio algebrico più formale degli anelli differenziali.

La panoramica di Arnold sui contributi di Leibniz al tema è condita da un numero non trascurabile di osservazioni stimolanti:

Nel lavoro di altri geometri - ad esempio, Huygens e Barrow - sono comparsi anche molti oggetti collegati a una data curva [ad esempio: ascissa, ordinata, tangente, la pendenza della tangente, l'area di un curvilineo figura, la sottangente, il normale, il subnormale, e così via] ... Leibniz, con la sua tendenza individuale all'universalità [riteneva necessario scoprire la cosiddetta caratteristica, qualcosa di universale, che unisce tutto nella scienza e contiene tutte le risposte a tutte le domande], ha deciso che tutti questi quan dovrebbero essere considerate allo stesso modo. Per questo ha introdotto un singolo termine per una qualsiasi delle quantità connesse con una data curva e che soddisfano una qualche funzione in relazione alla curva data - il termine funzione...

Quindi , secondo Leibniz molte funzioni erano associate a una curva. Newton aveva un altro termine - fluente - che denotava una quantità fluente, una quantità variabile e quindi associata al movimento. Sulla base degli studi di Pascal e dei suoi argomenti, Leibniz sviluppò abbastanza rapidamente un'analisi formale nella forma in cui la conosciamo. Cioè, in una forma particolarmente adatta a insegnare l'analisi da parte di persone che non la capiscono a persone che non la capiranno mai ... Leibniz stabilì abbastanza rapidamente le regole formali per operare con infinitesimi, il cui significato è oscuro.

Il metodo di Leibniz era il seguente. Presumeva che tutta la matematica, come l'intera scienza, si trovasse dentro di noi, e solo per mezzo della filosofia possiamo colpire tutto se prestiamo attenzione ai processi che avvengono nella nostra mente. Con questo metodo ha scoperto varie leggi e talvolta con grande successo. Ad esempio, ha scoperto che $ d (x + y) = dx + dy $ e questa straordinaria scoperta lo ha immediatamente costretto a pensare a quale sia il differenziale di un prodotto . In accordo con l'universalità dei suoi pensieri, giunse rapidamente alla conclusione che la differenziazione [doveva essere] un omomorfismo ad anello, cioè che la formula $ d (xy) = dx dy $ deve tenere. Ma dopo un po 'di tempo ha verificato che questo porta ad alcune spiacevoli conseguenze e ha trovato la formula corretta $ d (xy) = xdy + y dx $ , che ora si chiama Leibniz's regola. Nessuno dei matematici che pensano in modo induttivo - né Barrow né Newton, che di conseguenza fu chiamato un asino empirico nella letteratura marxista - avrebbe mai potuto [avere] l'ipotesi originale di Leibniz nella sua testa, poiché per una persona del genere era abbastanza ovvio qual è il differenziale di un prodotto, da un semplice disegno ...

L'affermazione di Arnold secondo cui Leibniz "giunse alla conclusione" che $ d (xy) = dxdy $ è un errore che è stato ampiamente discusso altrove. Leibniz non ha fatto una simile affermazione, ma al contrario ha chiesto se ciò fosse vero. E abbastanza sicuro giunse alla conclusione che non era così, abbastanza presto. Il tono sarcastico di Arnold deriva probabilmente dalla sua sfiducia (seguendo Berkeley e Cantor?) Per gli infinitesimi, il che è evidente anche in alcune assurde affermazioni che fa qui riguardo alla presunta "oscurità" del loro significato.
#4
+3
Carlos Bribiescas
2014-10-29 18:26:55 UTC
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Da un punto di vista pratico, la notazione era molto diversa.

Un punto dolente particolare per me è che la notazione di Leibniz ti consente di lavorare in modo errato con le derivate come se fossero una frazione matematica. Sfortunatamente questo "funziona" la maggior parte delle volte, quindi è ancora usato, anche nei corsi universitari, oggi.

Non credo ci sia nulla di sbagliato nelle scorciatoie, fino al punto che non lo fanno " t interferire con la comprensione. In questo caso, credo che crei un malinteso sull'argomento. Questo da solo penso metta la notazione di Newton sopra quella di Leibniz.

Grazie @carlosbriebiescas per l'intuizione, lo leggerò proprio ora, è questo l'unico punto di differenza però?
-1: Temo che affermazioni come queste si basino su un malinteso della notazione di Leibniz oltre che sull'uso storico della parola funzione. Per i dettagli vedere ad esempio queste discussioni: [Se d / dx è un operatore, su cosa opera?] (Https://mathoverflow.net/q/115416/745) e [Funzioni polimorfiche nel calcolo vettoriale] (https: //matheducators.stackexchange.com/questions/13520/polymorphic-functions-in-vector-calculus/13525#13525)
#5
+3
Sholto Maud
2017-01-21 17:40:40 UTC
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Dalla traduzione di Loemker,

"Il ragionamento di Leibniz, sebbene aspiri a un'applicazione più ampia della legge dei quadrati inversi rispetto alla sola gravità, è meno generale di quello di Newton (Principia, Libro I, Proposizioni I, 2, 14), poiché presuppone il moto armonico. "

Leibniz, Gottfried Wilhelm Philosophical Papers and Letters: A Selection / Translated and Edited, with un'introduzione di Leroy E. Loemker. 2d ed. Dordrecht: D. Reidel, 1970. p.362



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