Domanda:
Concetto di funzione e Idea di formula come funzione
Kenny LJ
2014-11-04 21:52:26 UTC
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Enderton Elementi di teoria degli insiemi , p. 43 (1977, Academic Press), scrive:

C'era una riluttanza a separare il concetto di una funzione stessa dall'idea di una formula scritta che definiva la funzione.

Qual è la base per l'affermazione storica di cui sopra? E a che punto circa il concetto di funzione stesso dall'idea di formula è diventato nettamente separato?

Sembra interessante che quello che oggi è considerato un errore elementare avesse una forte base storica.

Citazione più completa di Enderton:

Enderton, p. 43

Questa domanda è stata originariamente pubblicata su Math.SE.

Per quanto ne so non c'è alcuna base per l'idea che ci fosse "riluttanza" in senso letterale. Credo che nessuno si sia mai opposto attivamente alla generalizzazione del concetto.
Ciononostante @JackM, penso che ci sia una storia interessante dietro questo. Ricordo un famoso matematico che introdusse la nozione formale di funzione, un po 'più tardi di quanto mi aspettassi (ma non ricordo i dettagli).
Quattro risposte:
#1
+8
Mauro ALLEGRANZA
2014-11-04 22:35:20 UTC
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Puoi vedere la Storia del concetto di funzione.

Per Eulero (1748):

una funzione di una quantità variabile è una espressione analitica composta in qualsiasi modo dalla quantità variabile e dai numeri o dalle quantità costanti

ie una funzione era una "espressione simbolica" che, ricevuto un valore come "input", ci permette di calcolare un corrispondente valore "output".

Sembra che sia in Dirichelet (1837, pagina 135 ), che possiamo trovare la prima definizione esplicita del concetto di funzione come "coerenza arbitraria":

Se ora un unico finito unico $ y $ corrispondente a ciascun $ x $ , e inoltre in modo tale che quando $ x $ varia continuamente nell'intervallo da $ a $ a $ b $ , $ y = f (x) $ varia continuamente, quindi $ y $ è chiamata funzione continua di x per questo intervallo.

Non è affatto necessario qui che $ y $ sia dato in termini di $ x $ da una stessa legge in tutto l'intero intervallo, e non è necessario che sia considerato come una dipendenza espressa usando operazioni matematiche [enfasi aggiunta].

#2
+7
Alexandre Eremenko
2014-11-05 08:48:19 UTC
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Consiglio un eccellente account di Luzin sul mensile: MR1615544, MR1613935 (American math Monthly 105 (1998), 1 59-67 e 3, 263-270.

Di solito viene trascurato che lì sono in realtà diverse nozioni di funzione nella matematica moderna. Una è la definizione di Dirichlet che viene solitamente citata (dove due insiemi sono dati X e Y, e una regola che a ciascun elemento di X mette in corrispondenza un elemento di Y). Si noti che X fa parte della definizione!

Quindi il problema del tipo "trova il dominio di $ \ log ((x-1) (x-2)) $ non ha senso da questo punto di vista definizione.

Nel 18 secolo, Eulero comprendeva una funzione come un'espressione analitica il cui dominio non è dato in anticipo. Questa nozione diversa (dalla definizione di Dirichlet) non è "obsoleta". Si è evoluta in una moderna definizione di una "funzione analitica". In parole povere, una "espressione analitica" ha un "dominio naturale di definizione", che non è dato in anticipo. E problemi del tipo "trovano il dominio o f definizione "di una funzione analitica ha perfettamente senso nella matematica moderna.

Ci sono anche altre nozioni di funzioni nella matematica moderna (funzioni generalizzate o distribuzioni), che non rientrano nella definizione di Dirichlet. Inoltre, queste funzioni generalizzate sono in un certo senso più vicine a ciò che fisici e ingegneri intendono per funzione rispetto alla definizione di Dirichlet.

Per chiunque sia interessato, ho pubblicato un elenco di 12 articoli sull'evoluzione dell'idea di funzione nella mia risposta alla domanda StackExchange di matematica [Qual era la notazione per le funzioni prima di Eulero?] (Http://math.stackexchange.com/questions/ 79613 / what-was-the-notation-for-functions-before-euler).
Non conosco tutti questi articoli ma ne conosco la maggior parte. Non ti raccontano la storia DOPO la metà del XIX secolo. E il concetto di funzione è stato sostanzialmente sviluppato e modificato nel XX secolo.
@AlexandreEremenko: Hai un riferimento a dove Dirichlet definisce una funzione che consiste in una regola che fornisce una corrispondenza tra insiemi? Nelle definizioni date da Dirichlet che ho visto, chiama $ y $ la funzione (di $ x $).
#3
+1
Kenny LJ
2016-03-27 08:10:55 UTC
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Solo per aggiungere. Dopo aver fornito una definizione moderna e standard della funzione, Stephen Abbott (a p.7 di Understanding Analysis ) osserva:

Questa definizione di funzione è più o meno la uno proposto da Peter Lejeune Dirichlet (1805–1859) negli anni Trenta dell'Ottocento. Dirichlet era un matematico tedesco che è stato uno dei leader nello sviluppo dell'approccio rigoroso alle funzioni che stiamo per intraprendere. La sua motivazione principale era svelare i problemi che circondano la convergenza della serie di Fourier. I contributi di Dirichlet figurano in modo prominente nella sezione 8.3, dove viene presentata un'introduzione alla serie di Fourier, ma incontreremo anche il suo nome in diversi capitoli precedenti lungo il percorso. Ciò che è importante al momento è che vediamo come la definizione di funzione di Dirichlet libera il termine dalla sua interpretazione come un tipo di "formula". Negli anni precedenti al tempo di Dirichlet, il termine "funzione" era generalmente inteso come riferimento a entità algebriche come $ f (x) = x ^ 2 + 1 $ o $ g (x) = \ sqrt {x ^ 4 + 4} $. [La definizione precedente] consente una gamma molto più ampia di possibilità.

#4
+1
Michael Bächtold
2018-01-11 15:06:47 UTC
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Non credo sia così chiaro come ci fa credere l'opinione popolare ("Eulero pensava solo a espressioni simboliche, mentre Dirichlet ne dava la definizione moderna"). Considera ad esempio questa definizione di funzioni dal lavoro successivo di Eulero, Institutiones calculi differentialis , 1755, Prefazione p.VI ::

Così quando alcune quantità dipendono così da altre quantità, che se queste ultime vengono modificate, le prime subiscono un cambiamento, quindi le prime quantità sono chiamate funzioni delle seconde; questa definizione si applica piuttosto ampiamente e in essa sono contenuti tutti i modi in cui una quantità potrebbe essere determinata da altre. Se quindi $ x $ denota una quantità variabile, allora tutte le quantità, che dipendono da $ x $ in qualche modo, o sono determinate da essa, sono chiamate funzioni di essa.

Esempi sono $ x ^ {2 } $, il quadrato di $ x $, o qualsiasi altro potere di $ x $, e in effetti, anche le quantità che sono composte con questi poteri in qualsiasi modo, anche trascendentali, in generale, qualunque cosa dipenda da $ x $ in questo modo che quando $ x $ aumenta o diminuisce, la funzione cambia. Da questo fatto sorge una domanda; vale a dire, se la quantità $ x $ viene aumentata o diminuita, di quanto viene modificata la funzione, se aumenta o diminuisce?

A mio avviso questo non è sostanzialmente diverso da quanto detto da Dirichlet .

Inoltre, Dirichlet non ha mai parlato di insiemi o dominio o codominio di una mappa, né ha chiamato la "regola" funzione, come fa la definizione moderna che trovi in ​​tutti i libri. Vedi anche Chi ha considerato per primo $ f $ in $ f (x) $ come un oggetto in sé e chi ha deciso di chiamarlo funzione?



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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