Domanda:
Qual era la nozione di limite usata da Newton?
veronika
2019-05-09 23:10:19 UTC
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Ho letto che la nozione di limite è diventata rigorosa due secoli dopo la scoperta del calcolo

Che cosa aveva in mente Newton riguardo alla nozione di limite?

Il titolo di @MathWizard è stato modificato.
Ha usato quella che viene chiamata concezione cinematica, basandosi sull'intuizione del moto convergente: "* Quei rapporti ultimi ... limiti verso i quali i rapporti delle quantità, decrescenti senza limiti, convergono sempre; e ai quali si avvicinano più che per qualsiasi dato differenza, ma non andare mai oltre, né in effetti raggiungere * ". Vedere [Discussione di Ferraro] (https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00655601/document): "* In effetti, Newton non definisce i termini" limite "e" rapporto finale ": questi termini hanno un chiaro significato intuitivo per lui. * "
@Conifold Grazie per aver citato Ferraro (2011). Non è d'accordo con Pourciau (2001), ma il fondamento del suo disaccordo è lasciato come semplice affermazione: - "diversamente da quanto affermato da Pourciau, Newton non definisce la parola" limite "riferendosi a quantità che si avvicinano a un certo valore diventando inferiori a qualsiasi quantità fissa epsilon ". Ferraro riconosce che Newton ha scritto di quantità a cui i rapporti "si avvicinano più che per qualsiasi differenza data". Ma non spiega l'eventuale differenza tra questo e "meno di qualsiasi epsilon a quantità fissa", la sua formulazione preferita.
@terry-s Penso che "meno di qualsiasi epsilon a quantità fissa" sia un'allusione alla tecnica di Weierstrass, che Newton certamente non usa. Un riferimento più plausibile per "approccio più vicino che per qualsiasi differenza data" è la doppia reductio in stile greco, ma anche questa è per lo più retorica. Una corrispondenza più vicina al modo in cui Newton gestisce effettivamente i limiti è la concezione cinematica di Archimede in On Spirals, per esempio.
@Conifold: Una volta che hai l'idea quantificata "meno di qualsiasi differenza data" (Newton) e la sua notevole vicinanza alla formulazione successiva "meno di qualsiasi epsilon a quantità fissa" (conti moderni) è difficile vedere quale contributo viene dato all'argomento da analogie più lontane con le idee di Archimede o implicite allusioni verbali alle preferenze di Weierstrass.
@terry-s La "notevole vicinanza" è solo un artefatto della lettura di Weierstrass in Newton, non c'è vicinanza agli argomenti epsilon-delta nel testo. Una guida migliore non è quanto della concezione moderna il testo possa essere esteso per sopportare, ma guardare come lo leggono i suoi contemporanei e i successori del XVIII secolo, ad es. D'Alembert, l'Huilier o Kästner. Inoltre, Newton aveva sicuramente familiarità con il lavoro di Archimede, a differenza di Weierstrass, e persino in stile Principia dopo i modelli greci, quindi questa somiglianza è molto meno distante.
@Conifold: Quella è una citazione di Newton (in traduzione), non sta leggendo nessun altro dentro di lui!
@terry-s Vuoi dire che "più vicino di qualsiasi differenza data" conta come "idea quantificata" e "vicinanza notevole"? Non dovremmo guardare a ciò che Newton fa effettivamente per vedere quanto è vicino e se equivale a una "quantificazione" in stile Weierstrass? Sulla sua faccia, è altrettanto vicino a Proclo che dice che l'angolo del corno è più piccolo di qualsiasi angolo rettilineo, per esempio, o descrizioni colloquiali generiche di come qualcosa diventa "infinitamente piccolo" usate in modo sfuggente nelle classi di calcolo. Per me, l'assimilazione di un giro di parole a una tecnica sviluppata due secoli dopo è molto sospetto.
Mi dispiace che la mia risposta sembri aver suscitato un vespaio, ma mi rammarico anche che gran parte della discussione sembri essere condotta senza un adeguato supporto probatorio. Anche la retorica "affettatura del salame" degli argomenti sembra di per sé un modo deplorevole di condurre una discussione di questa natura.
@terry-s Capisco cosa intendi, anche a me. Quando ho letto per la prima volta la citazione dei rapporti finali (molto tempo fa), Newton mi ha colpito quasi come il concetto di limite moderno (soprattutto, come spiegato in modo informale nel calcolo). Più leggevo di Newton e di altri nel suo tempo, meno sembrava così. Ma hai ragione, è controverso, "chiudere" o "non chiudere" è troppo vago e una discussione seria dovrebbe riguardare molto di più il materiale di partenza. È difficile averlo in un thread di commenti. Forse scriverò una risposta dal mio punto di vista più tardi, se il tempo lo consente.
Tre risposte:
#1
+10
terry-s
2019-05-10 00:01:46 UTC
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Newton in realtà aveva un concetto di limite piuttosto esplicito, lo espose nella sezione 1 del Libro 1 dei Principia immediatamente dopo le definizioni e gli assiomi o leggi del moto. Non ha usato la parola effettiva `` limite '', ma il concetto è chiaramente presente nei suoi `` primo e ultimo rapporto '', che dalle sue spiegazioni risultano essere limiti dei rapporti di differenze finite, che vengono affrontati come la variabile rilevante che controlla la dimensione sia del numeratore che del denominatore declina a zero ("evanescente") o, se considerato al contrario, cresce da zero ("nascente"). La questione non è passata senza preavviso in letteratura. Uno studio di Bruce Pourciau (2001), in Historia Mathematica 28, 18-30, indaga e discute la comprensione di Newton del concetto di limite attraverso uno studio di alcune prove che compaiono nei Principia , con un focus sulle parti del Libro 1, sezione 1.

(Quando torno alle mie fonti, in questo momento sono lontano dalla base, inserirò i riferimenti online ai Principia in inglese traduzione del 1729 che è una buona fonte ed è online senza copyright, e altre fonti qui citate. Per ora, si può notare che il Libro 1 nella traduzione del 1729 è online in The Mathematical Principles of Natural Philosophy, vol.1 di 2, e la discussione e la spiegazione di Newton sui metodi limite si estende da pagina 41 a pagina 56.)

Newton spiegò tra le altre cose che si affidava ai limiti per giustificare i suoi metodi perché i metodi di gli antichi di reductio ad absurdum (o esaurimento) erano troppo lunghi, e il metodo degli "indivisibili" era troppo approssimativo, sebbene egli aggiunse che "con la presente il sa cosa mi viene eseguita come con il metodo degli indivisibili '. Quando Newton scrisse, il precursore dei metodi "infinitesimali" forse più noto era il tanto criticato lavoro degli anni Quaranta del Cinquecento sugli "indivisibili" di Bonaventura Cavalieri. Newton considerava chiaramente tali metodi come non ben giustificati, da qui la sua dipendenza dai limiti.

C'è ulteriore materiale che contribuisce a una risposta alla domanda corrente in Perché il calcolo manca dai Principia di Newton?, (risposta in poche parole, non manca e la risposta fornisce anche fonti in alcuni dettagli sui metodi e le spiegazioni di Newton) e nelle descrizioni degli attacchi al calcolo in Michel Rolle ha detto che il calcolo è "una raccolta di errori ingegnosi"?. Gli attacchi dei metodi di calcolo in Francia dal 1700 circa in poi da Michel Rolle furono difesi da Pierre Varignon e poi da Joseph Saurin, e la difesa di Varignon è particolarmente rilevante qui perché si basava sul Libro 1 sezione 1 dei Principia di Newton em> per fornire la giustificazione che non sembrava essere disponibile altrove. Leibniz, da parte sua, si è detto generalmente rispettoso della giustificazione di Newton in termini di limiti.

@math-wizard: Metto in dubbio la tua interpretazione del significato di "primo e ultimo rapporto" e ti rimando alla fonte principale, i Principia, e alla discussione di Bruce Pourciau (citata nella risposta sopra). Se pensi che si possa concludere che ci sono infinitesimi nel trattamento citato di Newton, potresti spiegare con le fonti la ragione e la giustificazione di tale conclusione?
Per attribuire qualcosa a un individuo, la maggior parte del problema deve essere risolta e dopo di essa segue una svolta importante. Non è sufficiente elaborare solo un piccolo indizio o suggerimento. In questo senso, il calcolo basato sull'infinitesimale dovrebbe essere attribuito a Newton, non a Cavalieri o ad Archimede perché la differenziazione e l'integrazione erano note solo dopo Newton, e non prima. Tuttavia, è noto che Newton non sapeva perché l'infinitesimale a volte è zero ea volte no. Nemmeno Leibniz e altri allora. Questo era chiaro solo dopo il lavoro di Cauchy e Weierstrass nel XIX secolo
@Math-wizard: Credo che tu stia cambiando argomento e non rispondi alla domanda. Dov'è il supporto probatorio delle affermazioni che hai fatto prima e di quelle nuove che stai facendo ora?
L'esagerazione spesso accade in matematica o scienze. Un altro esempio è attribuire l'aritmetica (sistema di valori posizionali) ai babilonesi (base 60). Questo non è corretto perché la parte più importante dell'aritmetica coinvolge 2 tabelle per l'addizione e la moltiplicazione, che sono possibili solo per i decimali e non per la base 60. Quindi l'aritmetica nel suo insieme non dovrebbe essere attribuita ai babilonesi, anche se ha qualcosa di simile.
@math-wizard Di nuovo le semplici affermazioni non supportate, mi dispiace doverle dire, e mi allontano dalla domanda. Se guardi questa risposta https://hsm.stackexchange.com/questions/7704/was-english-mathematics-behind-europe-by-many-years-because-of-newtons-notation/7710#7710 troverai riferimenti al lavoro del XVIII secolo e conclusione che già allora il calcolo era effettivamente difeso con rigore. Sono consapevole del fatto che si dice ripetutamente che sia un "fatto ben noto" che il lavoro non è stato effettivamente svolto fino a più tardi, Cauchy e Weierstrass, ma dove trovi supporto probatorio per questo?
Penso che i libri di storia della matematica di Felix Klein o Morris Kline o Alexandrov possano contenere i riferimenti di questo punto di vista. Dire che il calcolo è stato reso rigoroso nel XVIII secolo è di nuovo un'esagerazione.
#2
+6
Conifold
2019-05-11 14:54:17 UTC
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La sezione 1 del libro 1 di Principia si apre con un lemma che può sembrarci quasi moderno:

" Quantities, and the ratio of quantità, che in ogni tempo finito convergono continuamente verso l'uguaglianza, e prima della fine di quel tempo si avvicinano più l'una all'altra che per qualsiasi differenza data, diventano alla fine uguali ".

Ma un secondo pensiero solleva alcuni dubbi. Primo, questo è un lemma , non una definizione di limite. Si presume che il significato di "convergere continuamente" e "approccio" sia già compreso, il lemma intende derivarne una proprietà . Secondo, parla di "quantità". Si parla anche di quantità e dei loro limiti. Ma Newton sicuramente non può fare riferimento alla nostra nozione di funzioni che assegnano valori ad argomenti che appaiono per la prima volta nell'opera di Dirichlet del XIX secolo. O anche alle "espressioni analitiche" presenti nei libri di testo di Eulero del XVIII secolo. Infine, Newton non ha nemmeno la nostra idea di una linea reale assemblata da punti che fungono da argomenti e valori, il continuum aritmetico di Weierstrass, Dedekind e Cantor. La linea del XVII secolo è ancora euclidea / aristotelica, con i punti come segni meramente esterni su di essa.

Diventa più chiaro che i limiti di Newton, qualunque essi siano, non possono essere moderni, i suoi primitivi sono diversi, lavora in un diverso sistema di concetti matematici. Potrebbe esserci un senso in cui l'opinione di Porciau secondo cui Newton " è stato il primo a presentare un argomento epsilon " è giustificata, ma sarebbe simile al senso in cui Eudosso è stato il primo a lavorare con i tagli di Dedekind. Significa solo che alcune delle loro manipolazioni possono essere imitate da vicino da quelle moderne e siamo d'accordo di ignorare il significato di ciò che viene manipolato. E che esiste una catena evolutiva che si collega l'una all'altra.

Quali sono le "quantità" di Newton allora? Troviamo una descrizione esplicita nella sua Quadrature of Curves (1692):

" Non considero qui le quantità matematiche come composte da parti estremamente piccole, ma come generate da un movimento continuo. Le linee sono descritte, e descrivendo sono generate, non da alcuna apposizione di parti, ma da un moto continuo dei punti. Le superfici sono generate dal movimento delle linee, i solidi dal movimento delle superfici, gli angoli dalla rotazione delle loro gambe, il tempo da un flusso continuo, e così nel resto. Queste genesi sono fondate sulla Natura e sono ogni giorno visto nel movimento dei corpi ".

Ora diventa chiaro da dove viene la presunta comprensione di" convergere continuamente "e" approccio ". Newton considera l'idea di movimento come data intuitivamente , i limiti con le loro proprietà sono quindi fondati su di essa. Nello Scholium to Lemma XI della stessa sezione, Newton fa appello esplicitamente all'idea intuitiva della velocità istantanea per giustificare l'esistenza di limiti, per esempio. E nel Lemma 2 del libro 2 parla di "genita", quantità che qui considero variabili e indeterminate, e crescenti o decrescenti, per così dire, da un moto o flusso perpetuo ".

Questa concezione dei limiti e del calcolo in generale, basandosi sull'intuizione data del movimento e sulle sue proprietà osservate, venne chiamata cinematica . Ha radici in alcune opere di Archimede, come On Spirals, dove sembra affidarsi a qualcosa come il parallelogramma delle velocità per disegnare le tangenti. L'insegnante di Newton, Barrow, ha tenuto una conferenza su Archimede e la concezione cinematica delle curve è esplicita nelle sue Lezioni geometriche, che Newton ha aiutato a preparare per la pubblicazione, vedi Boyer's History of Calculus, p.189. Ma nei primi anni Newton usò anche manipolazioni con infinitesimi, ereditate tramite Barrow da Fermat, che in seguito trovò discutibili. Quindi dovrei essere d'accordo con la valutazione di Ferraro in Alcuni aspetti matematici dei Principia di Newton:

" In effetti, Newton non definisce i termini" limite "e" rapporto ultimo ": questi termini hanno un chiaro significato intuitivo per lui ... In effetti, penso che il concetto di Newton di rapporto primo e ultimo possa essere ridotto al moderno concetto di limite: è vero che Newton ha un'idea chiara di cosa significhi "avvicinarsi a un limite" [sia], ma questa è solo un'idea intuitiva e non matematica che è completamente diversa dalla moderna, matematica concetto di limite. "

In effetti, l'aspetto" meccanico "del calcolo di Newton fu esplicitamente criticato nel XVIII secolo, come" estraneo "alla matematica pura, da D'Alambert e l'Huillier, tra gli altri. Uno studio completo delle concezioni matematiche del XVII secolo è Whiteside's Patterns of Mathematical Thought in the tardo XVII secolo (p.374ff su Newton in particolare), su Principia vedi anche i suoi Principi matematici alla base dei Principia Mathematica di Newton. Arthur in Leery Bedfellows: Newton and Leibnizon the Status of Infinitesimals contrappone la concezione cinematica del calcolo di Newton a quella di Leibniz, inclusa una discussione dettagliata delle "quantità" e del Lemma 1, e i cambiamenti dai primi agli ultimi lavori . Sugli ultimi destini della concezione cinematica, sviluppata da McLaurin e ancora più che visibile a Cauchy (nonostante la sua comune assimilazione a Weierstrass, le sue "variabili" non sono dissimili dalle "quantità" di Newton) vedi il libro di Grabiner Origins of Cauchy's Rigorous Calculus.

"Ma Newton sicuramente non può fare riferimento a ..." espressioni analitiche "presenti nei libri di testo di Eulero del XVIII secolo". Perché ne sei così sicuro?
Mi sembra che nel lemma citato Newton non stia definendo la nozione di limite, ma dimostrando una proprietà di funzioni continue. Ecco come lo interpreto: se due quantità $ u $ e $ v $ sono funzioni continue del tempo $ t $ e $ \ lim_ {t \ to t_0} u = \ lim_ {t \ to t_0} v $ (convergono all'uguaglianza ) quindi $ u | _ {t = t_0} = v | _ {t = t_0} $ (in definitiva uguale).
@Conifold Temo che ti trovi su un terreno instabile affidandoti alla carta di Ferraro. Per esempio. ha dichiarato (p.7-8) "Newton non distingue tra il processo limite lim A (t) (per x-> c), e il valore ultimo di questo processo | A (t) | (in x = c) ". Ma Newton insisteva sulla distinzione: "Quei rapporti ultimi con i quali le quantità svaniscono, non sono veramente i rapporti delle quantità ultime, ma limiti verso i quali i rapporti delle quantità, decrescenti senza limiti, convergono sempre; e ai quali si avvicinano più che per qualunque differenza ... "Ferraro trascura il significato di questo e molto altro ancora.
@Conifold Ulteriori punti deboli nel trattamento di Ferraro risiedono (a) nel non riuscire a distinguere tra elementi euristici e dimostrativi nella sezione 1 di Newton (se Newton è arrivato ai suoi risultati considerando il movimento, ciò non mostra che il movimento è essenziale per il risultato una volta trovato) e (b) ignorando le differenze di significato tra ciò che Newton ha effettivamente scritto e le sue moderne riformulazioni.
@terry-s Non mi affido a Ferraro, Whiteside è molto più completo e approfondito, e poi c'è il testo di partenza. Ho citato la conclusione di Ferraro perché è ben formulata, ma come hai sottolineato prima non spiega completamente perché quello che dice è così. In realtà sono d'accordo con Porciau sul fatto che la storia di "Newton confuso" sia fuorviante. Newton non è confuso, è leggerlo con un dizionario moderno in mano che crea la confusione. La mia preoccupazione è che la storia dell '"argomento epsilon" trascuri che Newton opera con un sistema di nozioni diverso dal nostro, una sua confusione.
@MichaelBächtold Perché ce lo dice quando descrive le sue "quantità", e la struttura dell'analisi algebrica definita è uno sviluppo successivo. Sebbene se ne possano già vedere i germi, ad es. nella discussione di Newton sulla geneta nel Lemma 2 del Libro 2.
@MichaelBächtold Arthur (ho aggiunto un riferimento) interpreta il lemma come "* una versione sintetica dell'assioma di Archimede *" (pp.2,12): meno di "qualsiasi differenza data" è solo zero, non ci sono infinitesimi diversi da zero. Ovviamente Newton la ricava dalla "definizione" cinematica delle sue quantità piuttosto che prenderla come un assioma, come facevano i greci per le loro grandezze.
@Conifold L'equazione di "Meno di" qualsiasi differenza "" a zero è chiaramente falso, cosa intendevi veramente?
@terry-s Vedi la discussione di Arthur a p.12: "* date due quantità la cui differenza $ D $ è minore di una certa quantità $ a $, possiamo sempre trovare un numero $ n $ tale che $ nD> a $, così che $ c = a / n
@Conifold: Il passaggio che citi sembra mostrare un completo fraintendimento del Lemma 1, almeno per quanto riguarda le parole 'prima della fine di quel tempo' e 'quantità data', cerca di estrarre un senso diverso da quello che contiene il Lemma 1 aggiungendo alle parole di Newton cose che non ha scritto.
@terry-s Puoi leggere la spiegazione di Arthur per intero, il documento è liberamente accessibile. Guarda il contesto e la genesi del Lemma 1 dal Treatise on Fluxions. Mi sembra ragionevole.
Dei metodi relativi al calcolo di Newton, DTW 1961 considera i flussi, ma non trovo menzione dei rapporti primo / primo e ultimo / ultimo come nei Principia Bk.1 sec.1. D'altro canto, "minore di 'qualsiasi differenza data'" non è in generale né zero né infinitesimale perché per una 'differenza data', tutte le sue frazioni ad es. 1/2 sono chiaramente entrambi minori di esso e anche finiti diversi da zero, anche Newton esclude gli eventuali casi zero restringendo il punto considerato a 'prima della fine di quel tempo', cioè prima che la differenza considerata raggiunga lo zero. Cercherò di affrontare questo problema in una modifica / emendamento.
Trovo l'articolo di Arthur piuttosto difficile da seguire. Ad esempio: subito dopo aver citato il Lemma 1, continua a sollevare un'obiezione (ingiustificata) con infinitesimi a "... che prima della fine di quel tempo si avvicinano così vicini l'uno all'altro che la loro differenza è inferiore a qualsiasi quantità data". Potrei capire l'obiezione di Arthur se interpretasse quella frase come: "Esiste un momento $ t = t_0 $ prima di $ t = t _ {\ text {end}} $ tale che per ogni dato $ \ epsilon> 0 $ la differenza del quantità in ogni momento dopo che $ t = t_0 $ è minore di $ \ epsilon $. " Ma perché non interpretarlo come (segue)
"Per ogni $ \ epsilon> 0 $ esiste un tempo $ t = t_0 $ prima di $ t = t _ {\ text {end}} $ tale che la differenza in ogni momento dopo $ t = t_0 $ sia inferiore a $ \ epsilon $ "? Con una simile interpretazione non riesco a capire la sua obiezione. E non vedo perché questa non sia un'interpretazione valida di Newton. Dal momento che Arthur non è mai esplicito su come interpreta Newton, devo indovinare cosa sta dicendo Arthur, oltre a dover indovinare cosa sta dicendo Newton.
@MichaelBächtold Penso che abbia in mente qualcosa di più vicino alla tua seconda lettura (anche se ho delle riserve sull'analisi di Newton in lingua Weierstrassiana. In parte, è l'assenza di una logica basata sui quantificatori esplicitata che la concezione cinematica compensa, come ha sottolineato Friedman, per esempio). La preoccupazione ancora sarebbe che a $ t = t _ {\ text {end}} $ le quantità potrebbero differire di un infinitesimo piuttosto che "diventare alla fine uguali", contrariamente all'assioma di Archimede.
#3
+3
hermes
2019-05-09 23:35:41 UTC
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Newton non aveva il concetto rigoroso di limite come in $ \ epsilon / N $ e $ \ epsilon / \ delta $ formule. Invece, aveva una vaga idea di limite in termini di moto e usò la nozione di infinitesimale per calcolare derivate e integrali. Ad esempio, il calcolo della derivata di $ y = x ^ 2 $ è simile a $$ \ dot {y} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {(x + \ Delta x) ^ 2-x ^ 2} {\ Delta x} = 2x + \ Delta x = 2x $$ (Newton ha usato $ \ dot {x} $ per derivato e successivamente Leibniz migliorato a $ \ frac {dy} {dx} $ ). Nell'ultimo passaggio, $ \ Delta x = 0 $ , ma in $ \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} $ , $ \ Delta x $ non può essere $ 0 $ per $ \ frac0 {0} $ non ha senso. Ciò significa che $ \ Delta x $ (infinitesimale) a volte è zero ea volte no, un fatto che Newton non poteva spiegare. Né Leibniz conosceva la soluzione. Tuttavia, questo difetto dell'infinitesimale è stato ampiamente ignorato perché il potente metodo di calcolo ha risolto così tanti e importanti problemi che l'umanità non ha nemmeno mai sognato prima.

La rigorosa spiegazione dell'infinitesimale attraverso la nozione di limite (nelle forme di $ \ epsilon / N $ e $ \ epsilon / \ delta $ ), tuttavia, non fu completata fino a duecento anni dopo Newton, per opera di Cauchy e Weierstrass nel XIX secolo. Quindi è un'esagerazione affermare che Newton conosceva la nozione esatta di limite e il trattamento rigoroso dell'infinitesimale. Tuttavia, a Newton va attribuito il merito della sua invenzione del calcolo infinitesimale. Allo stesso modo, è di nuovo un'esagerazione affermare che qualcuno come Cavalieri o anche Archimede aveva inventato il calcolo prima di Newton.

Sarebbe utile offrire riferimenti a sostegno delle tue affermazioni. La domanda, giusto per ricordarlo, riguarda i limiti e il modo in cui Newton li concepisce. Il suo trattamento dei limiti nei Principia è offerto in risposta, con riferimento / i in linea e testo / i fornito / i. L'argomento è il suo lavoro giustificativo. Nessuno qui ha negato che in altri scritti abbia usato l'equivalente di infinitesimi, nessuno ha suggerito che ci fosse un resoconto rigoroso degli infinitesimi a parte gli argomenti limite. Nessuno ha suggerito che Cavalieri o Archimede abbiano inventato il calcolo. E così via. Sarebbe utile leggere prima di discutere!
Penso che i libri di storia della matematica di Morris Kline o Alexandrov contengano i riferimenti di questo punto di vista.
"* Newton non poteva spiegare perché *" --- Esprimendo il tuo commento in questo modo, sembri suggerire che Newton abbia tentato e fallito di spiegare qualcosa in questo senso, e dubito che questo rifletta accuratamente ciò che è realmente accaduto. Ho il sospetto che tu stia parlando del saggio di George Berkeley [* The Analyst; o un discorso indirizzato a un matematico infedele *] (https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/AnalCont.html) e la successiva controversia che ha generato. Il saggio apparve nel 1734 e Newton morì nel 1727.
Mi rendo conto che questa visione potrebbe dipendere dai paesi. I matematici britannici e quelli dei paesi di lingua inglese potrebbero credere che Newton conoscesse già la nozione di limite, incluso George Berkeley. Ma (la maggior parte) dei matematici dell'Europa continentale e altri la pensano diversamente. Ricorda che c'era stato un enorme dibattito su chi ha inventato il calcolo (Newton o Leibniz) tra matematici britannici e dell'Europa continentale. Da quando ho imparato il calcolo in un ambiente non inglese, sapevo solo che Newton non poteva spiegare i fatti sull'infinitesimale che è vero.
Non dovrebbe leggere $ \ dot {x ^ 2} $ se non altro? E dubito che Newton avrebbe scritto il calcolo che hai fatto, poiché, per quanto ne so, non ha usato differenze / differenziali. O potresti indicare un punto in cui ha scritto $ \ Delta x $?
Non voglio dire che Newton avesse usato $ \ frac {\ Delta y} {Δx} $. Serve per mostrare il problema all'infinitesimo


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 4.0 con cui è distribuito.
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