Domanda:
Kline ha ragione quando Cauchy credeva che le funzioni continue dovessero essere differenziabili?
Mikhail Katz
2016-03-02 22:42:26 UTC
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Morris Kline, in Mathematical Thought from Ancient to Modern Time, scrive nel capitolo 40 (The Installation of Rigor in Analysis), "Sebbene Bolzano e Cauchy avessero rigorizzato (in qualche modo) le nozioni di continuità e derivata, Cauchy e quasi tutti i matematici della sua epoca credevano e molti testi "dimostrarono" per i successivi cinquant'anni che una funzione continua doveva essere differenziabile. "

È vero che Cauchy credeva che una funzione continua dovesse essere differenziabile come sostiene Kline?

Nota 1. Come ha correttamente sottolineato l'utente Renfro qui, il matematico che ha tentato di "provare" che la continuità implica la differenziabilità era Ampere (piuttosto che Cauchy). Il primo a confondere i due nomi sembra essere stato Boyer. Non posso garantire la filosofia di Kline, ma in ogni caso la sua storia può essere valida solo quanto gli storici su cui si basa, e in questo caso sembra che abbia copiato l'affermazione su Cauchy dal passaggio confuso di Boyer.

Nota 2. Cauchy nel suo libro del 1823 menziona l'esempio della funzione $ y = x ^ {\ frac {1} {3}} $ e sottolinea che la derivata è infinita all'origine.

[Correlato] (https://hsm.stackexchange.com/questions/3058/who-first-drew-the-weierstrass-function) e [leggermente correlato] (https://hsm.stackexchange.com/questions/774/ perché-i-matematici-non-vedono-che-f-nx-xn-è-un-controesempio-di-cauchys) (nota anche i collegamenti in esso). Bisogna stare attenti poiché allora le diverse nozioni di continuità non erano chiaramente distinte.
@Danu Penso che il secondo post riguardi la * convergenza * uniforme piuttosto che la * continuità * uniforme.
Questo è vero, motivo per cui l'ho indicato come "leggermente correlato" (è correlato perché riguarda Cauchy che potenzialmente non aderisce ai moderni standard di rigore).
@Danu, se "aderenza al moderno standard di rigore" significa "aderenza alla teoria cantoriana degli insiemi", la questione è controversa, poiché nessuno prima del 1870 sarebbe qualificato da quello standard.
Questo per farti sapere che ieri ho passato un po 'di tempo a rintracciare alcuni riferimenti nella mia libreria personale e a digitarne estratti appropriati. Tuttavia, poiché lavoro a tempo pieno ed è ora l'inizio della settimana lavorativa, potrebbero essere necessari 2 o 3 giorni prima di avere tutto pronto per la pubblicazione. Per inciso, ho trovato la mia fotocopia accuratamente fatta del documento di Ampere del 1806 (l'ho trovata in una biblioteca nel 1992 e ne ho fatto una copia poi) e questa mattina ho fatto un file .pdf scansionato da esso, se qualcuno è interessato. Altre copie sono probabilmente su Internet, tuttavia.
@DaveLRenfro, è piuttosto utile e invia una copia di Ampere.
Quattro risposte:
#1
+7
Conifold
2016-03-03 06:09:10 UTC
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Molti matematici credevano che le funzioni continue fossero per lo più differenziabili (tranne forse per alcuni punti isolati) fino a quando Weierstrass non fece colpo pubblicando un esempio di una funzione continua non differenziabili nel 1875. Ma non era tanto per il rigore che la ragione implicava da Kline, e ripetuto nei libri di storia più antichi, per quanto riguarda la differenza nella comprensione di cosa sia una funzione. Il fraseggio di Kline è molto fuorviante perché "Cauchy e quasi tutti i matematici" intendevano il concetto in modo diverso, e per la loro versione la questione era di poca importanza, vedi Medvedev's Scenes from the History of Real Functions (Cap. 5) .

Il concetto di funzione del XVIII secolo era più o meno un'espressione analitica in forma chiusa, e quelle naturalmente erano sia continue che differenziabili (eccetto per i punti isolati) nel senso moderno, vedi L'algebra del XVIII secolo era più simbolica / formale della concezione moderna? Quindi per buona parte del XIX secolo quelle erano ancora le funzioni che la maggior parte dei matematici aveva in mente. Controesempi evidenti certamente noti a Cauchy e ad altri, come la funzione radice quadrata a $ 0 $, hanno mostrato che la continuità non implicava la differenziabilità in alcuni punti, ma tutto quel separarsi di funzioni, funzioni continue e funzioni differenziabili stava avvenendo in pochi punti isolati solo. E poiché era accettato che le funzioni potessero diventare "infinite" in punti isolati, la presunta "credenza" era corretta (anche per le nostre funzioni analitiche), sebbene sarebbe un modo strano per dirla, ed è più appropriato dire che il la domanda era discutibile.

La visualizzazione delle funzioni iniziò a cambiare dopo il lavoro di Gauss sulle funzioni ipergeometriche, e specialmente dopo il lavoro di Fourier sulle serie trigonometriche. Solo nel 1822 nella Théorie Analytique de la Chaleur (Teoria analitica del calore) Fourier diede per la prima volta qualcosa di vicino alla definizione moderna: " In generale, la funzione $ f (x) $ rappresenta una successione di valori o ognuna delle quali è arbitraria ... Non supponiamo che queste ordinate siano soggette a una legge comune; si succedono in qualsiasi modo, e ciascuna di esse è data come se fosse un'unica quantità ". Ma come sottolinea l'articolo della cronologia dei concetti di funzione di MacTutor "quando inizia a dimostrare teoremi sull'espressione di una funzione arbitraria come una serie di Fourier, usa il fatto che la sua funzione arbitraria è continua nel senso moderno!" È Dirichlet che ha iniziato a usare la definizione di Fourier in modo coerente e l'ha resa popolare. Ma anche dopo che il nuovo concetto di funzione prese piede e furono accettati i controesempi patologici di Weierstrass e altri, Poincaré non ne fu felice fino al 1899: " Per mezzo secolo abbiamo visto una massa di funzioni bizzarre che sembrano essere costretti ad assomigliare il meno possibile a funzioni oneste che servono a qualche scopo ... In passato, quando una nuova funzione è stata inventata, era in vista di uno scopo pratico. Oggi sono inventate apposta per mostrare che il ragionamento del nostro antenato era in errore, e non otterremo mai niente di più da loro ".

Conifold, grazie per questo. Tuttavia, mi sembra che dovrebbe essere possibile rispondere più chiaramente alla domanda se Cauchy credesse, come affermato da Kline, che una funzione continua dovrebbe essere ovunque differenziabili, o se fossero piuttosto i suoi contemporanei come Ampere a crederlo.
@katz In Resume (1823) Cauchy copre le "funzioni" in modo euleriano, più o meno le nostre funzioni elementari, comprese le potenze frazionarie come la radice quadrata, e deriva la regola del potere, quindi sapeva che le funzioni continue possono occasionalmente non avere derivati. Ma dubito che abbia mai considerato la questione in senso moderno: una proprietà che ne implica astrattamente un'altra su una classe indefinita di oggetti. "Empiricamente", per le funzioni con cui stava lavorando, continuità e derivati ​​andavano di pari passo, solo occasionalmente fallendo o andando in pezzi.
Conifold, nota che Ampere, contemporaneo (e forse anche predecessore) di Cauchy, ha confrontato queste due proprietà e ha persino affermato di dimostrare che la continuità implicava la differenziabilità. Per quanto ne so, Boyer è il primo ad aver confuso i due, e Kline lo ha copiato da Boyer. Nota che a pagina 23 nel * resume des lecons * che hai menzionato, Cauchy considera chiaramente la funzione $ x ^ {1/3} $ e afferma che la sua derivata all'origine è infinita.
@katz Medvedev discute dettagliatamente l'articolo di Ampere in Scenes from the History of Real Functions (pp. 215-219): "* il concetto di funzione continua non può essere datato prima di Lobachevskii e Dirichlet, o al massimo Bolzano e Cauchy. è chiaro che Ampere non avrebbe potuto esprimere tali considerazioni generali su tali funzioni nel 1806, e infatti non fa tali affermazioni ... L'unico matematico a cui Ampere si riferisce è Lagrange ... Ma per Lagrange una funzione è analitica tranne che a un numero finito di punti singolari isolati e altri tipi di funzioni semplicemente non esistono * ".
Non sono sicuro di quello che stai cercando di dire qui, ma permettimi di tentare una disambigua. Ampere ha affermato di aver dimostrato che le funzioni continue sono differenziabili ed è difficile per me credere che Medvedev contesti il ​​fatto di tale affermazione; Fai? Come correttamente rileva Medvedev, Ampere non poteva avere in mente la continuità Bolzano-Cauchy che venne dopo (1817-1821). Piuttosto Ampere sembra avere in mente un'idea euleriana di una funzione definita da una singola equazione o qualcosa del genere. ..
... Questo non rende necessariamente corretta la sua prova, ma ciò che è rilevante per quanto riguarda questa domanda è che una tale affermazione non può essere associata a Cauchy, e nessuna quantità di offuscamento cambierà il fatto che Boyer e Kline dopo di lui hanno fatto un errore qui.
@katz Penso che Kline sia grossolanamente fuorviante su ciò che credevano "tutti i matematici". Prende concetti di continuità e funzione che sono diventati prominenti in seguito in un contesto diverso, e attribuisce credenze su di loro a persone che li intendevano in modo diverso, e non ha pensato molto alla questione perché con i loro significati aveva poca importanza. Tralascia anche che "tutti i matematici" eccettuassero punti isolati, a causa di ovvi controesempi come i poteri frazionari, così per le funzioni euleriane la loro "credenza" era in effetti corretta.
Medvedev scrive anche di Ampere che ha letto nel contesto "* sta tentando di dimostrare che ogni funzione analitica nel senso di Lagrange ha una derivata ovunque tranne che a valori isolati individuali della variabile, in cui può diventare infinita. Ma per tali funzioni Ampere's la proposizione è completamente corretta * ".
Non sono sicuro che l'interpretazione di Medvedev di Ampere sia corretta. Ricordo di aver letto il testo di Ampere e di non aver trovato alcuna qualifica su "tranne che in singoli punti isolati". Hai letto Ampere? In ogni caso questa domanda riguarda principalmente Cauchy, e Boyer (e Kline dopo di lui) sembra aver estrapolato da Ampere a Cauchy * senza * adottare la lettura caritatevole di Medvedev di Ampere.
Inoltre, apprezzo i tuoi commenti su Kline. Se pensi che sia "gravemente fuorviante" dovresti farlo notare nella tua * risposta *. Questo era essenzialmente l'argomento della mia domanda: Kline è fuorviante qui o no?
Ho cambiato il fraseggio. Non ho letto le memorie di Ampere, ma Medvedev cita sia Lagrange che lui riferendosi ai derivati ​​come "funzioni", e non a quelli puntuali, ad es. Ampere scrive "* questa funzione [derivativa] ... è estremamente importante in matematica e nelle sue applicazioni ... e il nostro primo scopo è provare che esiste *". Sembra che leggere nozioni puntuali in Ampere sarebbe una modernizzazione alla Kline, soprattutto perché egli scrive esplicitamente che le funzioni possono "* diventare infinite *". Quindi non aveva bisogno di escludere esplicitamente punti isolati, era integrato.
#2
+6
Dave L Renfro
2016-03-16 22:53:29 UTC
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Non credo che Cauchy abbia scritto nulla di esplicito riguardo alla misura in cui possiamo dedurre la differenziabilità dalla continuità. Tuttavia, in molti luoghi sembra che Cauchy assuma la continuità e quindi introduce i derivati. Da quello che posso determinare, questo ha portato gli storici a "leggere Cauchy" in modi diversi a seconda della visione del mondo contestuale incorporata che lo storico riteneva fosse appropriata. Di seguito ho raccolto una serie di pubblicazioni ed estratti pertinenti che danno un'idea di ciò che le persone hanno scritto su questo e su questioni correlate per il periodo di tempo tra Ampère (1806) e Weierstrass (1872).

[1] Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , tradotto da Warren Van Egmond, Springer-Verlag, 1986, vi + 332 pagine.

Sezione 3.6. Le definizioni di Cauchy di derivata e differenziale (pp. 117-122) contiene una discussione del problema in esame.

(da pp. 118-119) Nello stesso volume del Journal de l'Ecole polytechnique che conteneva il supplemento di Lagrange, AM Ampere (1775-1836) pubblicato una lunga nota il cui oggetto era "una nuova dimostrazione della serie Taylor". Nel criticare l'assunto di Lagrange, Ampère ha cercato di dimostrare che è possibile espandere ogni funzione $ f (x) $ in una serie di potenze crescenti $. ^ {23} $ [Bottazzini cita l'articolo di Grabiner del 1978 e il libro del 1981]. Partì da una definizione della derivata basata su una proprietà delle funzioni derivate trovata da Lagrange. Questa proprietà è stata dichiarata da Ampère come, [inizio testo indentato] Siano $ A $ e $ K $ i valori di $ f (x) $ corrispondenti a $ x = a $ e $ x = k. $ Si può sempre supporre che $ a $ e $ k $ sono scelti in modo tale che $ f (x) $ non diventi mai infinito nell'intervallo e che nemmeno $ A = k $ $ a = k, $ in modo che $ \ frac {KA} { ka} $ non è né zero né infinito, e si può prendere questa quantità per quella sopra o sotto la quale si può sempre prendere $ [f (x + i) -f (x)] / i, $ dando a $ i $ un valore piccolo quanto necessario (1806a, p. 151). [end indented text] Da questa proprietà Ampère trasse la definizione di derivata che a lui "sembrava la più generale e la più rigorosa possibile" ( ibid ., p. 156). "La funzione derivata di $ f (x) $ è una funzione di $ x $ tale che $ [f (x + i) -f (x)] / i $ è sempre compreso tra due dei valori che questa funzione derivata assume tra $ x $ e $ x + i, $ qualunque $ x $ e $ i $ potrebbe essere ( ibid .). Il lavoro di Ampère e le sue lezioni all'École Polytechnique non rimasero senza influenza su Cauchy, che cita Ampère tra coloro ai quali è debitore sia nel Cours d'analyse che nel Résumé . Ma l'approccio di Cauchy capovolge i termini del problema: definendo la derivata di un funzione (se esiste) come limite opportuno, ciò che Ampère aveva dato come definizione divenne una proprietà della derivata, esprimibile come teorema.

[2] Carl Benjamin Boyer, I concetti del calcolo. A Critical and Historical Discussion of the Derivative and the Integral , Columbia University Press, 1939, vii + 346 pagine. [Ristampato da Dover Publications nel 1959, con il titolo cambiato in La storia del calcolo e del suo sviluppo concettuale .]

(dalla metà di p. 282) Allo stesso modo le intuizioni geometriche che si intromettevano nella visione di Cauchy del numero irrazionale lo portarono erroneamente a credere che la continuità di una funzione fosse sufficiente per la sua rappresentazione geometrica e per l'esistenza di una derivata $. ^ {45} $ [L'articolo di Jourdain del 1905 è citato.] AM Ampère era stato anche guidato da preconcetti geometrici simili a quelli di Cauchy per provare a dimostrare la falsa proposizione che ogni funzione continua ha una derivata , ad eccezione di alcuni valori isolati nell'intervallo $. ^ {46} $ [Pringsheim / Molk è citato.]

[3] Louis Philippe Gilbert, La memoria sull'esistenza de la dérivée dans les fonctions continua [Memoria su th e l'esistenza della derivata in funzioni continue], Mémoires Couronnés et Autres Mémoires, publiés par l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 23 # 3 (1873), vi + 31 pagine.

Vedi anche il rapporto anticipato sulle memorie di Gilbert di Eugène Charles Catalan del 1872 (9 pagine, in francese) e il Sur une objection proposée par M di Gilbert del 1872 Catalano [Su un'obiezione proposta dal Sig. Catalan] (5 pagine, con una risposta di 1 paragrafo di Catalan a p. 502) e la Rectification au sujet d'un mémoire précédent di Gilbert del 1872 [Correzione all'argomento della memoria precedente] (9 pagine).

Nota: Gilbert sostenne originariamente (nel suo precedente libro di memorie, che riporta l'anno di "pubblicazione ufficiale" del 1873) che c'erano errori nel lavoro di Hankel del 1870 e che Hankel non mostrava effettivamente che esistessero funzioni continue che sono non differenziabili su insiemi densi (o "ovunque" non differenziabili; non sono sicuro fino a che punto Gilbert originariamente fece una distinzione tra non differenziabile su ogni intervallo e non differenziabile in ogni punto). L'approccio di Gilbert era basato sui metodi di Lamarle ed era inteso a dimostrare in modo conclusivo che una funzione continua è differenziabili tranne che per un insieme isolato di punti (vedere il teorema finale di Gilbert in fondo a p. 31). Tuttavia, dopo che Gilbert venne a conoscenza dei risultati nell'articolo di Hermann Amandus Schwarz del 1873 Neues beispiel einer stetigen nicht differentiirbaren function [Nuovo esempio di una funzione continua non differenziabili] Francese versione, che fornisce un esempio particolarmente semplice di una funzione continua strettamente crescente che non è differenziabile ad ogni numero razionale diadico diverso da zero (infatti, a ciascuno di questi numeri la derivata giusta è $ + \ infty $ e la derivata sinistra è positiva e finita), Gilbert si rese conto che gli esempi di Hankel erano possibili. (Schwarz presentò il suo esempio il 19 agosto 1873, ma poiché la Rettifica di Gilbert fu presentata in una sessione del 7 giugno 1873, Gilbert lo sapeva ovviamente prima della presentazione di Schwarz. Per inciso, sebbene la presentazione di Weierstrass di un non ovunque -la funzione continua differenziabili era il 18 luglio 1872, non riesco a trovare alcuna menzione di Weierstrass nella Rettifica di Gilbert.) In effetti, alcuni dei ragionamenti di Hankel erano non corretti . Tuttavia, non so fino a che punto le critiche di Gilbert a Hankel fossero basate su errori effettivi che Hankel fece e in che misura le critiche di Gilbert a Hankel fossero il risultato di errori nel ragionamento di Gilbert. Credo che Gilbert, nella sua Rettifica , sentisse ancora che non era possibile che una funzione continua non fosse differenziabile in ogni punto. Con questo in mente, forse vale la pena notare che Gilbert si pentì delle sue opinioni dei primi anni '70 dell'Ottocento fornendo una lunga rassegna di questo argomento - iniziando con Ampère e includendo una discussione dettagliata degli esempi di Hankel e Schwarz, e persino la funzione continua non differenziabili di Weierstrass - - nella Nota II (pp. 467-475) nella seconda edizione del 1878 del suo libro di testo Cours d'Analyse Infinitésimale. Partie Élémentaire .

[4] Judith Victor Grabiner, Le origini della teoria del derivato di Cauchy , Historia Mathematica 5 # 4 (novembre 1978), 379-409.

(primo paragrafo intero a p. 381) Cauchy ha presentato per primo la sua definizione della derivata al mondo matematico in le sue Leçons sur le calcul infinitésimal del 1823. Definì la derivata $ f '(x) $ di una funzione continua $ f (x) $ come limite, quando esiste, del rapporto $ f (x + i) -f (x) / i $ come $ i $ è andato a zero. Ma non è la mera definizione della derivata come limite del quoziente delle differenze che costituisce il risultato di Cauchy. Newton, dopo tutto, aveva descritto alcuni dei suoi risultati in termini di limiti [Newton 1934, Scholium to Lemma XI]. Jean-le-Rond D'Alembert, sotto l'influenza di Newton, aveva definito esplicitamente il quoziente differenziale come il limite del quoziente delle differenze [1789, articolo "Différentiel". La definizione usata da D'Alembert era abbastanza comune alla fine del Settecento. Vedi Boyer 1949, capitolo VI.] La differenza tra il lavoro di Cauchy e quello di uomini come D'Alembert sta nella comprensione e nell'uso della definizione. D'Alembert non aveva quella che oggi chiamiamo una traduzione delta-epsilon del concetto-limite; come vedremo, Cauchy lo fece. L'unico vero uso che D'Alembert fece della sua definizione fu di illustrare il ritrovamento di una tangente ad una parabola come limite delle secanti [ op. cit. ]. Al contrario, la definizione di Cauchy era l'inizio del suo compito, non la fine; il suo risultato è stato quello di produrre un corpo esteso di risultati comprovati sui derivati.

(metà di p. 383) [Questo appare dopo una citazione tradotta dalle pp. 22-23 del libro di Cauchy del 1823] La frase di Cauchy "questo limite, quando esiste" esemplifica il suo atteggiamento verso il rigore . Forse il suo uso della frase era motivato solo dal comportamento di funzioni note in punti isolati, ma il linguaggio era sufficientemente generale per aprire l'intera questione dell'esistenza o della non esistenza dei derivati. E, sebbene la sua definizione di derivata, come quella di limite, sia verbale, vedremo immediatamente che ha tradotto la definizione nell'algebra delle disuguaglianze da usare nelle dimostrazioni.

(da p. 396 , righe 6-13) [L'articolo di Ampère del 1806 è discusso alle pp. 395-400] Cauchy conosceva Ampère personalmente ed era stato un suo allievo. Cauchy ha detto nella "Introduzione" al suo Cours d'analyse di aver "approfittato più volte delle osservazioni di M. Ampère, nonché dei metodi che [= Ampère] ha sviluppato in le sue lezioni sull'analisi "[1821, vii-viii]. Più di una volta ha riconosciuto l'assistenza di Ampère in modo generale [1821, vii; 1826, 10]. E Cauchy si riferì esplicitamente al documento di Ampère del 1806 in occasione della sua dimostrazione di (1) [1823, 44n; 1829, 268]. [ Nota: (1) è l'istruzione $ \ min \ {f '(x): \; a \ leq x \ leq b \} \; \ leq \; \ frac {f (b) - f (a)} {b - a} \; \ leq \; \ max \ {f '(x): \; a \ leq x \ leq b \}. $ ]

(dalla metà inferiore di p. 396) Quindi è naturale per noi, nella nostra ricerca delle fonti di Cauchy, esaminare l'articolo di Ampère. Il documento, purtroppo, è difficile da leggere e non è molto ben organizzato. A volte è stato interpretato erroneamente come un tentativo di dimostrare che ogni funzione continua è differenziabili. La principale fonte di questa interpretazione sembra essere [Pringsheim 1909, 44]. [ Nota: non sono d'accordo. Ci sono molti riferimenti nella letteratura del XIX secolo al fatto che l'articolo di Ampère sia un tentativo di dimostrare che le funzioni continue sono differenziabili, tranne che in alcuni punti isolati.] Ampère stesso è in parte responsabile di questo errore; nel suo articolo ha usato il termine "esiste" per descrivere una derivata quando intendeva che era finita e diversa da zero [1806, 149]. Data l'opinione prevalente di molti storici sulla mancanza di rigore e raffinatezza nell'analisi prima di Cauchy, insieme all'uso insolito del termine "esiste" da parte di Ampère, l'interpretazione errata delle parole di Ampère non sorprende. Tuttavia, questo errore ha portato a una sfortunata negligenza del documento di Ampère da parte degli storici del calcolo. Poiché le innovazioni di Ampère hanno aiutato Cauchy a imparare a dimostrare i teoremi sulle derivate, meritano di essere esaminate di nuovo con attenzione.

Nota: credo di aver incontrato l'uso di "numero esiste" per significare "non zero" (e non negativo) più volte in carte e libri molto antichi (prima metà del 1800), ma non sono stato in grado di individuare alcun uso specifico di "esiste" in questo momento. La mia sensazione è che l'uso di "esiste" in questo modo sia molto simile all'uso di "esiste" per un insieme, il che significa che l'insieme non è l'insieme vuoto (questo uso era molto comune all'incirca dal 1880 agli anni '20) .

[5] Ivor Grattan-Guinness, L'emergere dell'analisi matematica e il suo progresso fondamentale, 1780-1880 , pp. 94-148 in Ivor Grattan-Guinness ( editore), From the Calculus to Set Theory, 1630-1910. An Introductory History , Gerald Duckworth and Company, 1980, vi + 306 pagine. [Ristampato dalla Princeton University Press nel 2000.]

Alcuni commenti rilevanti su Cauchy e Ampère sul derivato compaiono alle pp. 112-114, ma tutto ciò che è rilevante per la questione in esame è contenuto negli estratti I hanno dato altrove. Tuttavia, il seguente commento può essere interessante:

(dalla fine di p. 112) Un problema immediato è la questione se una funzione continua sia o meno derivabile . Per noi la risposta è senza dubbio negativa, perché una funzione con un angolo è continua ma non differenziabile lì. Ma nei sistemi non rigorosi del XVIII e dell'inizio del XIX secolo le proprietà di continuità e differenziabilità non erano comunque definite così chiaramente, e gli infinitesimi potevano consentire di interpretare un angolo come un anello infinitamente stretto (ma differenziabili).

[6] Ivor Grattan-Guinness, Convolutions in French Mathematics, 1800-1840 , 3 volumi, Science Networks / Historical Studies # 2, Birkhäuser Verlag, 1990, 1602 pagine.

(dal volume 2, p. 749, 2 ° paragrafo) Il trattamento di Cauchy del calcolo è iniziato nella lezione 3. [Questo riguarda il libro di Cauchy del 1823 Résumé ... ] Il quoziente di differenza di una funzione continua $ y = f (x), \; $ (1152.1) $ \; \ Delta y / \ Delta x \; = \; (f (x + \ Delta x) - f (x)) / \ Delta x, $ 'può convergere verso un altro limite, positivo o negativo' quando $ \ Delta x \ rightarrow 0. $ [ Nota: Naturalmente, Cauchy non usò la notazione a freccia per i limiti, poiché questa venne utilizzata solo lentamente dal 1908 circa agli anni '20. Grattan-Guinness sottolinea esplicitamente a p. 717 che, sebbene Cauchy non abbia usato la notazione a freccia, Grattan-Guinness la userà nella sua discussione su Cauchy.] 'Questo limite, quando esiste, ha un valore determinato' (incluso $ 0 , $ sicuramente) una "nuova funzione" di $ x. $ Ha usato la notazione di Lagrange " $ f" (x) $ "e denomina" funzione derivata "per questa nuova funzione, ma naturalmente era essenzialmente la derivata che noi riconosciamo, non il coefficiente di Lagrange (322.8) nell'espansione di Taylor. La frase "quando esiste" mostra che Cauchy era consapevole del fatto che una funzione continua non deve necessariamente avere una derivata, sebbene gli esempi da lui forniti fossero tutti differenziabili $ (\ sin x, \; A ^ {x}, $ e così via); non ha fornito esempi con angoli (come Fourier aveva mostrato con la sua serie nella Figura 926.1) né ha definito le derivate di sinistra e di destra.

[7] Thomas William Hawkins, Teoria dell'integrazione di Lebesgue. Its Origins and Development , 2a edizione, Chelsea Publishing Company, 1975, xvi + 227 pagine. [Per la parte che cito, la prima edizione del 1970, la seconda edizione corretta del 1979 e la ristampa AMS del 2001 della seconda edizione corretta del 1979 sono le stesse.]

(da pp. 43-44) AM Ampère [1806] ha cercato di stabilire questo corollario indipendentemente da (4) [(4) è l'affermazione che $ f (x + i) = f (x) + pi + qi ^ 2 + \ cdots, $ dove $ p, $ $ q, $ ecc. sono funzioni di $ x $ solo] e quindi usalo per stabilire (4) senza ricorso all'argomento di Lagrange. È la sua prova che è diventata il paradigma per quelle successive. Ciò che Ampère ha effettivamente mostrato è che se $ f '(x) $ esiste per tutti i $ x $ $ (f '(x) $ può essere infinito per alcuni valori di $ x) $ e se il quoziente di differenza converge uniformemente in $ f '(x), $ , quindi qualsiasi intervallo $ (a, k) $ deve contenere un punto $ x_0 $ in cui $ f '(x_0) $ è finito e diverso da zero. Ciò implicherebbe che $ f '(x) $ esiste come quantità finita, diversa da zero su un insieme denso. Ma Ampère ha interpretato il suo risultato nel senso che $ f '(x) $ non è né zero né infinito eccetto "alcuni valori particolari e isolati di $ x $ " [1806: 149]. Tra la comparsa del saggio di Ampère e il 1870, l'affermazione che qualsiasi funzione (continua) è differenziabile in generale fu affermata e dimostrata nella maggior parte dei testi principali sul calcolo $. ^ {11} $ [10 riferimenti sono dati, nessuno è Cauchy] Spesso l'argomento originale di Ampère veniva semplificato facendo uso del fatto "intuitivo evidente" che una funzione che varia continuamente deve essere monotona a tratti. Pertanto, differenziabilità e monotonia erano collegate insieme, anche se in modo tenue. Ciò è particolarmente interessante perché Cauchy nelle sue Leçons sur le calcul différentiel [1829] aveva considerato le funzioni $ f (x) = x ^ {3} \ sin (1 / x) $ e $ g (x) = x \ sin (1 / x), $ entrambi hanno discontinuità rimovibili in $ x = 0 $ e tuttavia non sono monotoni in nessun quartiere di $ 0. $

[8] Philip Edward Bertrand Jourdain, La teoria delle funzioni con Cauchy e Gauß , Bibliotheca Mathematica (3) 6 (1905), 190-207.

Includo questo perché Boyer fa riferimento alla discussione di Jourdain nella sezione 6 a p. 206. La discussione di Jourdain riguarda principalmente la differenziabilità delle funzioni di una variabile complessa. Tuttavia, la natura della discussione di Jourdain, e specialmente l'ultima frase a p. 206 (che menziona la funzione continua non differenziabile di Weierstrass), suggerisce che la discussione di Jourdain riguarda anche la differenziabilità delle funzioni di una variabile reale.

(da p. 206, righe 5-14 ) Nelle memorie del 1825, CAUCHY richiedeva solo un valore e continuità di $ f (z); $ se considerava la continuità sufficiente per l'esistenza di un derivato non può essere detto dai suoi scritti, poiché, in quanto a ["lontano" inteso?] come sono consapevole, non si è pronunciato da nessuna parte su questo punto, - forse non ha ritenuto necessario un tale pronunciamento. Ma è difficile dubitare, da altre indicazioni nelle opere di CAUCHY, che CAUCHY abbia immaginato che la sua concezione di 'continuità' fosse comunque sufficiente per la 'rappresentabilità geometrica' di una funzione, e quindi per l'esistenza di una derivata [= derivata ; I derivati ​​di Dini non sono considerati da nessuna parte nel documento di Jourdain]. In effetti, le concezioni di CAUCHY in analisi poggiavano su basi geometriche (tranne che in punti isolati).

[9] Philip Edward Bertrand Jourdain , L'origine delle concezioni di Cauchy di un integrale definito e della continuità di una funzione , Isis 1 # 4 (1913), 661-703.

(dalla Sezione XVIII, alle pp. 701-702) Ma d'altra parte, LACROIX (5) ha fornito una «prova» dell'esistenza di quozienti differenziali. [nota (5) da una citazione a pp. 241-242 del volume I e a p. 712 del volume III] Il primo tentativo di questo genere fu dovuto ad AMPÈRE. AMPÈRE (1) ha iniziato un libro di memorie sulla serie di TAYLOR'S con una «prova» che la funzione di $ x $ e $ i $ [cioè] $ [f (x + i) -f (x)] / i $ può diventare, quando mettiamo $ i = 0, $ né zero né infinito per tutti i valori di $ x. $ [nota a piè di pagina (1) fornisce una citazione a quella di Ampère 1806 paper] [diverse frasi omesse] Un punto che sembra essere di grande interesse è la supposizione implicita che $ f (x) $ sia continua. Molti autori, come DINI (3), REIFF (4) e PRINGSHEIM (5) dicono semplicemente che questa dimostrazione si applica alle funzioni «continue» e non aggiungono che la parola «continuo» aveva un significato diverso nel 1806, e non è stato utilizzato da AMPÈRE. [(3) è una citazione alle pp. 67-68 & 219 del libro di Dini del 1878 Fondamenti per la Teorica delle Funzioni di Variabili Reali , (4) è una citazione a p. 156 del libro di Reiff del 1889 Geschichte der Unendlichen Reihen , (5) è p. 449 del documento di Pringsheim del 1890 Zur Geschichte des Taylorschen Lehrsatzes ] La «prova» dell'esistenza del limite del rapporto $ \ ; \ frac {f (x ') - f (x)} {x'-x} \; $ [errore di battitura corretto] fornito da LACROIX, era dovuto a «M. BINET aîné, professeur de mathématiques transcendantes al Lycée de Rennes »(6). [la nota (6) si estende a p. 703 ed è il seguente: Presumibilmente questo sarebbe il padre di JACQUES PHILIPPE MARIE BINET, nato a Rennes nel 1786 e morto a Parigi nel 1856 ( biog. Di Poggendorff-lit. Handwörterbuch , vol. I, p. 194. Per altre prime "prove dell'esistenza di derivati, vedere GALOIS '(1830-1831) Œuvres , Paris, 1897, p. 9; DE MORGAN, Calculus , p. 47-48.]

Nota: il tentativo di dimostrazione di Augustus De Morgan menzionato da Jourdain non è incluso tra i 10 riferimenti forniti in una nota a p. 44 della Teoria dell'integrazione di Lebesgue di Hawkins. Poiché il libro di De Morgan è abbastanza noto, non credo che Hawkins lo abbia trascurato. Invece, penso che Hawkins non abbia incluso il tentativo di dimostrazione di De Morgan perché De Morgan ha espresso dubbi sulla dimostrazione in un paragrafo (metà superiore di p. 48) dopo il suo tentativo di dimostrazione.

[10] Morris Kline, Pensiero matematico dall'antichità ai tempi moderni , Oxford University Press, 1972, xvii + 1238 pagine. [Ristampato come edizione tascabile in 3 volumi nel 1990.]

Sezione 40.3. The Derivative (pp. 954-956 dell'edizione 1990) include quanto segue.

(inizio pagina 955) Sebbene Bolzano e Cauchy aveva rigorizzato (in qualche modo) le nozioni di continuità e derivata, Cauchy e quasi tutti i matematici della sua epoca credevano e molti testi "dimostrarono" per i successivi cinquant'anni che una funzione continua doveva essere differenziabile (eccetto ovviamente in punti isolati come come $ x = 0 $ per $ y = 1 / x). $

Nota: questo forse non è un buon esempio, poiché $ y = 1 / x $ non è definito in $ x = 0. $ Questo modo di fondere (cioè combinare insieme) quelle che ora consideriamo due idee diverse era comune fino alla fine del 1800. Tuttavia, non so se Kline stia usando questo esempio per essere in linea con il contesto storico o se Kline abbia semplicemente trascurato il fatto che il suo esempio potrebbe facilmente creare confusione con i lettori di oggi.

[ 11] Morris Kline, Matematica. The Loss of Certainty , Oxford University Press, 1980, viii + 366 pagine.

(p. 176, righe 2-5) Come i suoi contemporanei, [= Cauchy] credeva che la continuità implicasse la differenziabilità (Capitolo VII) e così enunciava molti teoremi in cui le ipotesi chiamavano solo per continuità, ma dove ha usato la differenziabilità, e anche dopo che la sua attenzione è stata richiamata sul suo errore, ha insistito.

Nota: non riesco a trovare nulla nel libro di Kline a sostegno di questa affermazione sulla "sua attenzione è stata richiamata sul suo errore". Non ci sono note a piè di pagina sul retro del libro di Kline e le prossime pagine non rivisitano questa affermazione su Cauchy.

[12] Anatole Henri Ernest Lamarle, Étude approfondie sur les deux équations fondamentales Lim $ \ frac {f (x + h) - f (x)} {h} = f '(x) $ et $ dy = f '(x). \; \ Delta x $ [Ampio studio di le due equazioni fondamentali Lim $ \ frac {f (x + h) - f (x)} {h} = f '(x) $ e $ dy = f '(x). \; \ Delta x $ ], Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 29 (1855), 118 pagine.

Vedi anche il sommario di Lamarle del 1854 Note sur les deux équations fondamentales lim. $ \ frac {f (x + h) - f (x)} {h} = f '(x) $ et $ dy = f '(x). \; \ Delta x $ [Nota sulle due equazioni fondamentali lim. $ \ frac {f (x + h) - f (x)} {h} = f '(x) $ e $ dy = f '(x). \; \ Delta x $ ] (22 pagine) e il sommario di 6 pagine del 1854 di Mathieu Schaar. Per una biografia di Lamarle di 51 pagine (in francese), con una bibliografia di 40 articoli pubblicati da Lamarle, vedere Notice sur la vie et les travaux de A.-H.-E. Lamarle [Avviso sulla vita e le opere di A.-H.-E. Lamarle].

[13] Jesper Lützen, The foundation of analysis in the 19th century , pp. 155-195 in Hans Niels Jahnke (editore), A History of Analysis , History of Mathematics # 24, American Mathematical Society, 2003, x + 422 pagine.

(dal fondo di p. 169) In la definizione della derivata Cauchy [nel suo libro del 1823] iniziò supponendo che $ f $ fosse continua, ma avendo formato il quoziente di differenza e il suo limite, fu cauto indicare "se esiste". Ciò sembra porre le basi per l'introduzione del concetto di differenziabilità. Tuttavia, Cauchy non ha introdotto questo concetto e nei capitoli successivi del suo libro ha semplicemente assunto che $ f $ fosse continuo (o non ha assunto nulla), anche se ha differenziato un numero qualsiasi di volte. È come se Cauchy si aggrappasse ancora all'idea del XVIII secolo di un "dominio sicuro" in cui l'analisi era più o meno universalmente valida. Con Eulero e d'Alembert questo dominio comprendeva tutte le funzioni; con Cauchy consisteva nelle funzioni continue.

(da p. 176, righe 17-19) Anche se Cauchy non ha cercato di dimostrare il teorema errato secondo cui qualsiasi funzione continua potrebbe essere differenziato, ha dato, come abbiamo visto sopra, ai suoi lettori l'impressione che fosse vero.

[14] Fyodor Andreyevich Medvedev, Scene da the History of Real Functions , traduzione di Roger Lee Cooke dell'edizione russa del 1975, Science Networks / Historical Studies # 7, Birkhäuser Verlag, 1991, 265 pagine.

Sezione 5.2 (Teorema di Ampère, pp. 214-219) presenta il punto di vista, con il quale sono d'accordo, che è astorico (Medvedev, almeno in traduzione, chiama questa "modernizzazione") interpretare l'articolo di Ampère come un tentativo di dimostrarlo le funzioni continue sono differenziabili (tranne forse in alcuni punti isolati).

(dalla metà di p. 216) È difficile per il lettore moderno giudicare il contenuto della proposizione principale di Ampère e i metodi di ragionamento che ha usato per dimostrarla. La maggior parte degli autori che hanno scritto su questo sono per qualche motivo inclini a credere che in questo articolo stesse tentando di dimostrare che una derivata esiste ovunque [in un intervallo limitato] tranne che per un numero finito di punti per qualsiasi funzione continua o almeno per ogni funzione continua che soddisfa certe restrizioni supplementari $. ^ 4 $ [La nota a piè di pagina menziona F. Riesz che scrive nel 1932 che Ampère potrebbe aver avuto in mente funzioni monotone a tratti. ] Questa opinione difficilmente può essere considerata corretta. Del resto, il concetto di funzione continua come è conosciuto oggi, non può essere datato prima di Lobachevskii e Dirichlet (cfr. Sez. 8 del Saggio II), o al massimo a Bolzano (1817) e Cauchy (1821). Quindi è chiaro a priori che Ampère non avrebbe potuto formulare considerazioni di questo genere su tali funzioni nel 1806, e infatti non fa tali affermazioni. Lui stesso da nessuna parte dice esplicitamente che le funzioni che sta prendendo in considerazione appartengono a una classe generale di funzioni, e qualsiasi giudizio su ciò che aveva in mente deve essere basato su un ragionamento indiretto.

[15] Zbigniew Piotrowski, The genesis of separate versus joint continuity , Tatra Mountains Mathematical Publications 8 (1996), 113- 126.

(dalla metà di p. 115) Come i suoi contemporanei, anche [= Cauchy] credeva che la continuità implicasse la differenziabilità (?!) (Vedi Capitolo VII di [Ca]), e anche dopo che la sua attenzione fu richiamata sul suo errore, ... persistette (confronta [K2] p. 176).

Nota: [Ca] è il Cours d'Analyse di Cauchy del 1821 e [K2] è il libro di Kline Mathematics. La perdita di certezza . I puntini di sospensione "..." sono nell'originale e non indicano che ho omesso qualcosa mentre cito dall'articolo di Piotrowski.

[16] Avadhesh [Avaresh] Narayan Singh , La teoria e la costruzione di funzioni non differenziabili , Lucknow University Studies # 1, Newul Kishore Press [Lucknow University Press], 1935, vii + 110 pagine. [Ristampato in Squaring the Circle and Other Monographs , Chelsea Publishing Company, 1953.]

(da First Lecture, articolo 4: 2 ° paragrafo a pp. 4-5) [(1) e (30) sono citazioni bibliografiche nella bibliografia di 104 voci di Singh e si riferiscono al documento di Ampère del 1806 e al documento di Gilbert del 1873.] Un tentativo di dimostrare che la continuità era una condizione sufficiente per la differenziabilità è stato realizzato da Ampère (1) nel 1806. Sebbene la dimostrazione di Ampère fosse difettosa, tuttavia il suo risultato fu creduto dalla maggior parte dei matematici per molto tempo. Si possono citare Duhamel, Bertrand e Gilbert (30) tra coloro che hanno decisamente espresso la loro fiducia nel risultato di Ampère. Anche negli scritti di matematici eminenti come Gauss, Cauchy e Dirichlet non c'è nulla che dimostri che avessero un'opinione diversa. Sebbene non avallassero l'affermazione di Ampère, nessuno di loro sembra aver avuto la convinzione che potesse esistere una funzione che era ovunque continua ma non differenziabile. Darboux nel suo libro di memorie "Discontinuous functions", pubblicato nel 1875, menziona un solo revisore, M. Bienaimé, il quale disse di non essere convinto dalla prova di Ampére.

[17] Klaus Thomas Volkert, Zur differenzierbarkeit stetiger funktionen - Ampère's beweis und seine folgen [Sulla differenziabilità delle funzioni continue - La prova di Ampère e le sue conseguenze], Archive for History of Exact Sciences 40 # 1 (marzo 1989), 37-112.

Questo sembra essere uno studio molto completo del 1806 di Ampère carta e la sua influenza sugli sforzi successivi di Lamarle, Hankel, Gilbert, du Bois-Reymond, Dini e altri. Sfortunatamente, il documento è in tedesco e non posso leggere il tedesco, e sembra che non ci sia nulla su Internet (almeno, niente di disponibile liberamente) che discuta (in inglese) il documento di Volkert.

Ho dovuto eliminare 6 riferimenti per ottenere il mio post sotto il limite di 30.000 caratteri. Piuttosto che tralasciare completamente quei riferimenti, li includerò nei commenti. Ivor Grattan-Guinness, ** The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann **, MIT Press, 1970, xiv + 186 pagine. C'è qualche discussione su Cauchy e sulla definizione della derivata (dalla fine di p. 55 all'inizio di p. 61), ma nulla che abbia una rilevanza speciale per la questione in esame.
André Marie Ampère, [* Ricerche su alcuni punti della teoria delle funzioni derivate che portano a una nuova dimostrazione della serie di Taylor, e all'espressione finita dei termini che trascuriamo quando fermiamo questa serie a qualsiasi termine *] (https://books.google.com/books?id=0PUxMifP-PMC&pg=PA148) [Ricerca su alcuni punti della teoria delle funzioni derivate che porta a una nuova dimostrazione delle serie di Taylor, e al finito espressione dei termini che trascuriamo quando interrompiamo questa serie a qualsiasi termine], ** Journal de l'École Polytechnique ** 6 # 13 (aprile 1806), 148-181.
Charles Henry Edwards, ** The Historical Development of the Calculus **, Springer-Verlag, 1979, xii + 351 pagine. Edwards fornisce una traduzione in inglese di una citazione dalle pagine 22-23 del libro di Cauchy del 1823, essenzialmente la stessa che si può trovare in molti altri riferimenti. Edwards non commenta ciò che Cauchy potrebbe aver creduto sulla differenziabilità delle funzioni continue.
Judith Victor Grabiner, ** The Origins of Cauchy's Rigoroso Calculus **, MIT Press, 1981, x + 252 pagine. [Ristampato da Dover Publications nel 2005.] Il capitolo 5: * The Origins of Cauchy's Theory of the Derivative * (pp. 114-139; note di capitolo alle pp. 211-219) sembra per lo più ripetere il materiale nell'articolo di Grabiner del 1978. Poiché il suo articolo del 1978 è più completo per quanto riguarda gli estratti che ho fornito sopra, non sto dando alcuna citazione dal suo libro del 1981. Inoltre, non ho trovato nulla nel suo libro che sembri rilevante per la questione in esame oltre a ciò che ho già citato dal suo articolo del 1978.
Rora Felicia Iacobacci, ** Augustin-Louis Cauchy e lo sviluppo dell'analisi matematica **, Ph.D. Dissertazione (con John Joseph Kinsella), New York University, 1965, 543 pagine. Non ho visto questa dissertazione, ma è citata in alcune pubblicazioni e potrei provare a ordinarne una copia (da ProQuest) tra qualche mese quando le mie finanze si saranno stabilizzate da una recente vendita di un "appartamento" condominiale e dall'acquisto di un Casa. Credo che il lavoro di Cauchy sul derivato inizi intorno a pagina 240.
Ivor Grattan-Guinness, * Bolzano, Cauchy e la "nuova analisi" del primo Ottocento *, ** Archive for History of Exact Sciences ** 6 # 5 (gennaio 1970), 372-400. Questo documento non sembra avere nulla di rilevante per la questione in esame. Lo includo in questo commento in modo che altri che si interrogano su questo documento non perdano tempo a cercarlo per il problema in questione.
Whoa ... Questa è una risposta ben referenziata.
#3
+4
Mauro ALLEGRANZA
2016-03-03 19:14:07 UTC
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Nuova edizione

Vedi:

[Cauchy] prima contempla la possibilità che una funzione continua possa non avere una derivata continua in [1839], osservando che non si può essere certi che una funzione e la sua derivata hanno necessariamente discontinuità o infiniti per gli stessi valori della variabile indipendente. Qui potrebbe forse essere stato influenzato da alcuni commenti fatti da Frisiani e Piola nell'appendice alla loro traduzione italiana (1834) della prima memoria di Torino [ Extrait du memoirepresente a l'Academie de Turin, le 11 octobre 1831 ]. È chiaro che era preoccupato solo per la possibilità che il derivato avesse discontinuità in punti isolati. In ogni caso, inserì l'ipotesi aggiuntiva che la derivata dovesse essere continua quando [il memori] fu ripubblicato nei suoi Esercizi d'analisi nel 1841, anche se sembra che non lo fece coerentemente in pubblicazioni successive.

Vedi: ALCauchy, Note sur l'integration des equations differentielles des mouvements planetaires (1839), Exercices d'analyse et de physique mathématique, Vol.I, pagine 27-32.


Per gli sviluppi successivi, vedere:

[pagina 138] I Weierstrassiani iniziarono a costruire espressioni analitiche che definivano funzioni con infinità di oscillazioni e discontinue entro un intervallo finito, e ne esaminavano le conseguenze per l'analisi matematica. [...] Ulteriori esempi di questo tipo furono studiati in un lungo articolo [del] 1875 [' Sur les fonctions discontinues', Ann.sci.Ecole Norm.Sup., (2) 4 (1875) ] su vari aspetti dell'analisi Weierstrassiana e dei problemi Riemanniani di Gaston Darboux.

"Si ottiene così una funzione continua di cui la derivata è discontinua per tutti i valori [razionali] commensurabili di $ x $, ma esiste per tutti i valori di $ x $" ha concluso (p. 109). Dopo aver considerato questo e altri esempi di funzioni costruite nel suo articolo, ha osservato comprensibilmente che "sembra difficile indicare un carattere generale che permetta di riconoscere se una funzione $ f (x) $ ha una funzione primitiva, vale a dire, se è la [funzione] derivata di un'altra funzione "(p. 111). [...] Con funzioni come queste vediamo la questione della continuità rispetto alla differenziabilità sorgere in una forma netta. funzione continua che non è differenziabile da nessuna parte?

Weierstrass ha risposto affermativamente a questa domanda in un manoscritto [del] 1872, con l'esempio [...]. Lo ha pubblicato nel suo 1880 ['Zur Functionenlehre', Monatsb.Preuss.Akad.Jifliss. Berlin, (1880)], art. 6, ma apparve per la prima volta in du Bois Reymond 1875 ['Versuch einer Classification der willktirlichen Functionen ... "J.rei .ang.Math., 79 (1875), 21-37]. Un'ampia discussione di tali funzioni fu condotta sia a stampa che per corrispondenza, e un gran numero di funzioni continue non differenziabili furono inventate nei decenni successivi. [Vedi Thomas Hawkins, Lebesgue's Theory of Integration: Its Origins and Development, (1970), pagina 44-50].

E vedi le tesi di Johan Thim: Funzioni continue da nessuna parte differenziabili, pagina 6, per un elenco utile e un abstract in fr.wiki.


Per alcune fonti recenti, vedere:

Hai una fonte primaria in Cauchy che indica che Cauchy pensava che una funzione continua fosse ovunque differenziabili? Grattan-Guinness non dice niente del genere.
@katz, è più del genere di cose che prendi come troppo ovvie per essere persino considerate, ancor meno statali (per non parlare di provare a dimostrare). Quindi non troverai prove * per * la vista.
Ho postato alcuni commenti rilevanti in [questo post sci.math del 25 ottobre 2000] (http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=272289). Esaminandolo ora, mi viene in mente che ogni riferimento che ho fornito è ora disponibile gratuitamente su Internet. All'epoca in cui l'ho scritto, e per la maggior parte di coloro che hanno letto il mio post, immagino che potrei anche citare manoscritti sconosciuti rinchiusi in un caveau di una banca in Corea del Nord! Non dovrai più viaggiare per 200 miglia in una biblioteca completa e passare diversi giorni a rintracciare i riferimenti (o utilizzare il prestito interbibliotecario, se sei abbastanza fortunato da averlo) - basta google i titoli.
@vonbrand, Ampere ha affermato di dimostrare che la continuità implicava la differenziabilità. Boyer fu il primo a confondere i due nomi e ad attribuire la pretesa a Cauchy. Kline sembra aver copiato da Boyer. Vedi maggiori dettagli nel mio commento sulla risposta di Conifold.
@DaveLRenfro, citi un autore lì che afferma che "Tra la comparsa del documento di Ampere [nel 1806] e il 1870, l'affermazione che qualsiasi funzione (continua) è differenziabili in generale [cioè ad eccezione di punti isolati l'uno dall'altro] è stata dichiarata e dimostrata nella maggior parte dei testi principali sul calcolo ". Questa affermazione sembra non essere corretta. Ho studiato Cauchy da vicino e non ho trovato alcuna affermazione (o prova) simile.
@katz: La citazione (all'inizio del mio post, ed è un estratto da un mio post precedente nello stesso thread) è da ** Teoria dell'integrazione di Lebesgue: sue origini e sviluppo ** di Thomas Hawkins, e 10 libri di testo sono citato da Hawkins. Non vedo come la mancanza di una tale affermazione nei libri di Cauchy influenzi il commento di Hawkins, dal momento che i libri di Cauchy, sebbene forse ampiamente letti dalle maggiori ricerche durante questo periodo, non erano certo "testi guida". In effetti, sospetto che dopo il 1840 circa (se non molto prima), i libri di Cauchy non furono quasi mai usati come testi universitari.
@Dave, la mia domanda riguarda specificamente Cauchy. Hai lasciato un * commento * a una risposta alla mia domanda e quindi non è irragionevole per me aspettarmi che il tuo commento sia rilevante per Cauchy. Non ho letto Hawkins in modo specifico, ma nella misura in cui non sembra escludere Cauchy, le sue osservazioni sembrano applicarsi anche a Cauchy. Ora, se questo è vero, la tua citazione suggerisce che Cauchy ha sottoscritto le idee sbagliate di Ampere. Non credo che questo sia accurato, come ho già notato nella mia domanda.
@Mauro, Grattan-Guinness è uno studioso di cui ho grande rispetto ei suoi commenti su Darboux e Weierstrass sono interessanti, ma come risponde alla mia domanda su Cauchy e su ciò che Kline ha affermato di lui? Si noti che Cauchy ha menzionato esplicitamente la funzione $ x ^ {1/3} $ e ha sottolineato che la derivata è infinita all'origine.
@MauroALLEGRANZA, 4x ^ {1/3} $ è un controesempio ed è chiaramente affermato in Cauchy 1823. Vuoi che Cauchy affermi l'ovvio? Questo è precisamente il problema che ho con gli storici tradizionali: prendono Cauchy per un idiota.
@Mauro, grazie per il riferimento a Smithies. Si noti tuttavia che già nel 1823 Cauchy aggiunge l'ipotesi aggiuntiva che la derivata debba essere una funzione continua (subito dopo l'esempio $ x ^ {1/3} $).
#4
  0
Gottfried William
2016-03-05 21:21:52 UTC
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Questo per integrare le altre due risposte. Vale la pena leggerlo nel contesto della domanda.

http://www.ams.org/journals/bull/2007-44-02/S0273-0979-07-01140-8 /home.html

Assolutamente le funzioni continue sono quelle che consentono tutte il calcolo.

Questo tipo di cose è stato utilizzato anche molto tempo fa da Daniell per la sua integrazione, ecc.



Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 3.0 con cui è distribuito.
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