Cercherò di rispondere a questa domanda sia in termini del XVIII secolo che in abiti moderni.

Innanzitutto, l'equazione réduite è stata introdotta a p.208 e denominata a p .213; è

$$ y ^ 6 + py ^ 3 - n ^ 3/27 = 0 $$

I coefficienti di questa equazione sono $ p $ e $ -n ^ 3 / 27 $, quindi dipendente solo dai coefficienti $ n, p $ dell'equazione originale $ x ^ 3 + nx + p = 0 $. (Lagrange consente brevemente un termine $ mx ^ 2 $, quindi lo trasforma, risultando in coefficienti innescati; ignoriamo questa complicazione.)

Ora $ n, p $ può essere espresso in termini di radici dell'equazione originale utilizzando le formule di Vieta: basta espandere

$$ (xa) (xb) (xc) = 0 $$

esprimendo $ n, p $ come le cosiddette funzioni simmetriche elementari di $ a, b, c $.

Poiché $ n, p $ sono funzioni simmetriche di $ a, b, c $, ne segue che i coefficienti del Anche le réduite lo sono. Pertanto, $ - n ^ 3/27 $ sarà un'espressione disordinata in $ a, b, c $, ma chiaramente sarà simmetrica in quelle radici.

Lagrange ha dimostrato che $ y = (a + \ alpha b + \ beta c) / 3 $, quindi tutto ciò che si vede può essere scritto come una funzione razionale delle radici $ a, b, c $. (Consideriamo le radici cubiche dell'unità come costanti note). Immagina cosa otteniamo se sostituiamo queste funzioni con $ y, n, p $ nella réduite : una grande equazione disordinata nelle funzioni razionali di $ a, b, c $. Se ora permutiamo $ a, b, c $, otterremo un'altra equazione del genere. Ma i coefficienti della réduite sono simmetrici in $ a, b, c $, quindi non cambiano. Solo $ y $ cambia, con un nuovo valore. Sei possibili permutazioni, sei valori di $ y $, tutte radici della stessa equazione. Quindi la réduite deve avere il grado 6.

Ora traduciamo questo in termini moderni. Lagrange lavora con due tipi di espressioni: espressioni razionali nei coefficienti $ n, p $ (o $ m, n, p $ se non rimuoviamo il termine $ x ^ 2 $) ed espressioni razionali nelle radici $ a , b, c $. Oggigiorno ci piace pensare in modo teorico agli insiemi, quindi diciamo che $ E $ è il campo di tutte le espressioni razionali in tre lettere $ a, b, c $. Sia $ F $ il sottocampo generato dai polinomi simmetrici elementari $ s_1 = a + b + c $, $ s_2 = ab + ac + bc $, $ s_3 = abc $. Quindi l'equazione polinomiale

$$ f (X) = (Xa) (Xb) (Xc) = X ^ 3 -s_1 X ^ 2 + s_2 X - s_3 = 0 $$

ha coefficienti in $ F $ e radici in $ E $. Non è difficile, con un minimo di teoria dei campi, dimostrare che $ E $ è il campo di divisione di $ f (X) $ su $ F $. Inoltre, il gruppo di automorfismo di $ E $ su $ F $ è solo il gruppo di permutazioni sulle lettere $ a, b, c $. Il valore $ y $ ha questa proprietà: applicando i sei automorfismi ad esso si ottengono sei diversi valori. Un trucco standard nella teoria di Galois è scegliere un elemento $ y $ del campo di divisione e formare l'equazione

$$ g (X) = \ prod _ {\ sigma \ in \ text {Aut} (E / F)} (X- \ sigma y) = 0 $$

I coefficienti di $ g (X) $ si trovano quindi nel campo fisso. Questo è esattamente ciò che sta facendo Lagrange qui.

In un commento, l'OP solleva una questione che tocca le differenze tra il punto di vista moderno e quello del XVIII secolo. Sia $ g (Y) $ il réduite , dove $ Y $ è una variabile; sia $ y $ un'espressione razionale in $ a, b, c $ per la quale $ g (y) = 0 $. Ora permutiamo le radici. I coefficienti di $ g $ non cambiano, ma $ y $ diventa $ y '$. Come sappiamo che $ g (y ') = 0 $?

La risposta moderna: la permutazione delle radici induce un automorfismo del campo $ E $ su $ F $, chiamiamolo $ \ sigma $. Quindi $ \ sigma g (y) = g (\ sigma y) $ perché $ \ sigma $ è un automorfismo che lascia fissi tutti i coefficienti di $ g $. Quindi $ g (y ') = g (\ sigma y) = \ sigma g (y) = \ sigma 0 = 0 $.

Lagrange non aveva una nozione esplicita dei campi $ E $ o $ F $, ancor meno di un automorfismo di $ E $ su $ F $. Ma le sue osservazioni sulle radici che entrano equamente nei coefficienti e che sono in grado di scambiare le radici a volontà, mostrano che aveva una comprensione intuitiva dei concetti moderni.

Lagrange probabilmente immaginò $ g (y) = 0 $ come una grande espressione razionale disordinata a sinistra, che si riduce formalmente a 0. Poiché l'equazione è formale, non dipendente dai valori particolari di $ a, b, c $, la permutazione delle radici non distruggere la validità dell'identità formale.

Infine, consiglio due articoli per aiutare con la preistoria della teoria di Galois (accanto al libro di Cox): "Lo sviluppo della teoria di Galois da Lagrange ad Artin", di BM Kiernan ( Archive for History of Exact Sciences , v.8 no. 1/2 p. 40-154; p.45-55 discutono il lavoro di Lagrange) e "Niels Henrik Abel e la teoria delle equazioni " di HK Sørensen. (Ho anche sentito parlare bene del libro di Edwards Galois Theory .)