Questa è una di quelle domande che è molto più complicata di quanto sembri, molte persone diverse hanno contribuito alle formule mentre le scriviamo oggi. La risposta breve, che in realtà non rende giustizia alla storia, è che solo Eulero ha presentato le formule del volume in questa forma nei suoi libri di testo dopo il 1737.

Il passo principale è stato senza dubbio fatto da Archimede in Su Sfera e Cilindro, dove ha dimostrato rigorosamente che $ V_S: V_C = 2: 3 $, dove $ V_S $ è il volume di una sfera e $ V_C $ è il volume del cilindro circoscritto (ha anche dato la proporzione per la superficie). "Ovviamente", $ V_C = \ pi r ^ 2 \ times2r $, quindi otteniamo la formula moderna, giusto? Sebbene questo sia un modo popolare di proiettare concetti moderni sulla storia, svende l'ingegnosità degli antichi greci e le difficoltà che sono riusciti a superare, per non parlare del lavoro di innumerevoli altri che hanno creato il nostro paradiso matematico. Ecco un problema: come si assegna un numero a un volume, o anche a una lunghezza per quella materia? Oggi usiamo numeri reali e teoria dell'integrazione, ma gli antichi greci non avevano nulla di tutto ciò. La loro ingegnosa soluzione era di accontentarsi di entrambi. Le grandezze geometriche (volumi, aree, lunghezze) non erano affatto assegnate ai numeri, erano correlate ad altre grandezze simili come rapporti. Questi rapporti non erano numeri, potevano essere confrontati ma non aggiunti, e solo occasionalmente potevano essere espressi come rapporti di numeri interi, gli unici numeri veri e propri. Questo è il motivo per cui Archimede ha espresso la "formula" in questo modo.

Ma per arrivare alla nostra formula moderna anche nella forma del rapporto come $ V_S: r ^ 3 = 4 \ pi: 3 $ c'è un altro problema in mezzo. Questa proporzione collega il volume della sfera non a un cilindro, ma al cubo sul suo raggio. Il problema è che $ 4 \ pi: 3 $ non è un rapporto di numeri interi, a differenza di $ 2: 3 $. Certo, Archimede non lo sapeva per certo, ma i Pitagorici erano già entrati nell'acqua calda assumendola per il lato e la diagonale di un quadrato, e poi dimostrando il contrario. Quindi Archimede, come i geometri prima e dopo di lui, non l'hanno scritto in questo modo, e non hanno nemmeno scritto $ A = \ pi r ^ 2 $ o $ A: r ^ 2 = \ pi $ per l'area di un cerchio. Non in equazioni e non a parole. Ancora una volta, i greci sono stati all'altezza della situazione nonostante l'assenza dei nostri macchinari moderni. La teoria della proporzione, un'ingegnosa invenzione di Eudosso di Cnido presentata nel Libro V degli Elementi di Euclide, ha permesso loro di dare un senso a stime come $ r: s<A: r ^ 2<p: q $ con numeri interi $ p, q, r, s $. Archimede e molti dei suoi successori dimostrarono molte di queste stime senza invocare entità misteriose, che rimasero indefinite per quasi due millenni da qui, e senza l'idea moderna che a loro insaputa quei rapporti si "approssimassero" $ \ pi $.

Se questo ultimo passaggio ci sembra oggi banale, lasciatemi sottolineare che nel XVII secolo Cavalieri e Roberval presentavano ancora i loro volumi e le loro aree come rapporti con altri volumi e aree più semplici, e ricordiamo la storia di zero, che non è stato compreso o utilizzato come numero per secoli dopo che i babilonesi e gli astronomi alessandrini usavano un simbolo come segnaposto. Con $ \ pi $ non c'era nemmeno un simbolo. Solo alla fine del Medioevo alcuni arabi ed europei iniziarono a pensare agli irrazionali come a una sorta di numeri, dando loro soprannomi suggestivi, come "numeri sordomuti". E questo era per irrazionali come $ 1 + \ sqrt {5} $ o $ \ sqrt [3] {2} $ dati da formule algebriche.

Sembra che la prima persona a considerare che $ \ pi $ e $ e $ fossero anche "una specie di numeri" stampati fu James Gregory in La vera quadratura del cerchio e Iperbole pubblicata nel 1667. Fu anche il primo a suggerire la possibilità che la quadratura del cerchio fosse irrisolvibile con riga e compasso, sebbene la sua argomentazione fosse errata. Anche allora ci volle tempo perché l'idea venisse filtrata fino a quando William Jones nel 1706 fu abbastanza audace da assegnare un simbolo al nuovo "numero", il nostro moderno $ \ pi $, pur continuando a dire "la proporzione esatta tra il diametro e la circonferenza non può mai essere espresso in numeri ". La teoria dell'integrazione era sufficientemente sviluppata da allora per essere a suo agio anche con volumi e aree come numeri, così Jones poteva sbarazzarsi dei rapporti e scrivere $ A = \ pi r ^ 2 $. E quando Eulero adottò il simbolo 30 anni dopo, rendendolo famoso, poté finalmente scrivere $ V_S = \ frac43 \ pi r ^ 3 $.

Archimede ha calcolato le formule esatte (nel modo in cui gli antichi greci davano le formule) nel suo libro Sulla sfera e sul cilindro. Questo non era "sperimentale": ha fornito una dimostrazione geometrica completa, rigorosa per il suo periodo di tempo.

Considerava questo il suo lavoro più grande. Ha chiesto che un diagramma che rappresenta la sua prova fosse inscritto sulla sua tomba. Questo è stato apparentemente fatto poiché almeno un visitatore di Siracusa in seguito riferì di aver visto il diagramma.

Alcune persone pensano che Archimede abbia scoperto il calcolo e trovato le formule in quel modo, ma ha nascosto la sua scoperta. Newton ha fatto più o meno la stessa cosa in seguito, usando il calcolo per scoprire molto sulla gravità, ma usando prove geometriche quando ha scritto sulla gravità. Newton ha finalmente rivelato il suo lavoro in Calculus quando costretto da Leibniz. Newton si rese conto che il calcolo sarebbe stato controverso. Forse lo ha fatto anche Archimede.